Gọi G là giao điểm của DE và CH.  I là giao điểm của  DE và OC. F là giao điểm của OC với (O)

Xét tam giác CGI và tam giác COH có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{HCO}chung\\\widehat{CIG}=\widehat{CHO}=90^0\end{cases}\Rightarrow\Delta CGI~\Delta COH\left(g-g\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{CG}{CI}=\frac{CO}{CH}\)

\(\Rightarrow CG.CH=CO.CI\)

\(\Rightarrow2.CG.CH=2.CO.CI=CF.CI\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác CEF vuông tại E có EI là đường cao ta có:

\(CF.CI=CE^2=CH^2\)(2) 

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2.CG.CH=CH^2\)

\(\Rightarrow2CG=CH\)

\(\Rightarrow G\)là trung điểm của CH mà DE cắt CH tại G

\(\Rightarrow DE\)đi qua trung điểm của CH

a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này

d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N

Đặt BH=2R; CH= 2R’

∆IOM vuông tại M có:

I M 2 = I O 2 - O M 2 =  R + r 2 - R - r 2 = 4 R r

Tương tự , ∆ION có  I N 2 = 4 R ' r

Suy ra IM+IN=EF=AH

Vậy  2 R r + 2 R ' r = 2 R R '

=>  r R + R ' = R R '

=> r =  R R ' R + R ' 2

d) Xét tam giác ACB vuông tại C, CH là đường cao nên :

Xét tam giác ABE vuông tại A, AC là đường cao nên :

⇒ EA = 2 FA ⇒ F là trung điểm của EA

Tam giác CEA vuông tại C có CF là trung tuyến

⇒ FC = FA

⇒ ΔFCA cân tại F ⇒ ∠(FCA) = ∠(FAC)

Lại có ΔOCA cân tại O ⇒ ∠(OCA) = ∠(OAC)

⇒ ∠(FCA) + ∠(OCA) = ∠(FAC) + ∠(OAC)

⇔ ∠(FCO) = ∠(FAO) = 90 0

Vậy FC ⊥ CO hay FC là tiếp tuyến của (O)

a: Xét tứ giácc MAOC có

góc MAO+góc MCO=180 độ

nên MAOC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

MA,MC là tiếp tuyến

nên MA=MC

mà OA=OC

nên OM là trung trực của AC

=>I là trung điểm của AC

Xét ΔABC có AO/AB=AI/AC

nên OI//BC và OI=1/2BC

a: Xét tứ giác OCMA có

góc OCM+góc OAM=180 độ

nên OCMA là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

MC,MA là tiếp tuyến

nên MC=MA

mà OC=OA

nên OM là trung trực của AC

=>OM vuông góc với AC tại trung điểm của CA

Xét ΔABC có O,I lần lượt là trung điểm của AB,AC

nên OI là đường trung bình

=>OI=1/2BC

=>BC=2IO