a: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(DF=FC=\frac{DC}{2}\)

\(AD=BC=\frac{AB}{2}\)

mà AB=CD(ABCD là hình bình hành)

nên AE=EB=DF=FC=AD=BC

Xét tứ giác AEFD có

AE//FD

AE=FD

Do đó: AEFD là hình bình hành

Hình bình hành AEFD có AE=AD

nên AEFD là hình thoi

b: Xét tứ giác CFEB có

CF//EB

CF=EB

Do đó: CFEB là hình bình hành

Hình bình hành CFEB có CF=CB

nên CFEB là hình thoi

=>CE⊥BF tại N và N là trung điểm chung của CE và BF

ADFE là hình thoi

=>AF⊥DE tại M và M là trung điểm chung của AF và DE

ADFE là hình thoi

=>DF=FE

=>FE=AB/2

Xét ΔFAB có

FE là đường trung tuyến

\(FE=\frac{AB}{2}\)

Do đó: ΔFAB vuông tại F

Xét tứ giác EMFN có \(\hat{EMF}=\hat{ENF}=\hat{MFN}=90^0\)

nên EMFN là hình chữ nhật

c: Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó; AECF là hình bình hành

=>AC cắt EF tại trung điểm của mỗi đường(1)

EMFN là hình chữ nhật

=>EF cắt MN tại trung điểm của mỗi đường(2)

Từ (1),(2) suy ra AC,EF,MN đồng quy

d: ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

Xét ΔCFB có CF=CB và \(\hat{FCB}=60^0\)

nên ΔCFB đều

=>\(\hat{CFB}=60^0\)

FC//AB

=>\(\hat{CFB}=\hat{FBA}\) (hai góc so le trong)

=>\(\hat{FBA}=60^0\)

Xét tứ giác ADFB có

DF//AB

\(\hat{DAB}=\hat{FBA}\left(=60^0\right)\)

Do đó; ADFB là hình thang cân

a) AB=2AD=> \(AD=\frac12AB\)

E;F là trung điểm AB;CD=> \(AE=EB=DF=FC=\frac12AB=\frac12CD\)

=> \(AD=AE=EB=BC=CF=FD\)

a) tứ giác ADFE có:

AE//DF

AE=DF=\(\frac12AB\)

=> tứ giác ADFE là hình thoi

b) từ câu a)=> hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> góc EMF= 90 độ

CMTT:=> tứ giác BCFE là hình thoi

=> góc ENF= 90 dộ

xét tam giác ADE có:

AD=AE

góc A= 60 độ

=> △ADE là tam giác đều

=> góc AED= 60 độ

mà ta có góc A+ góc B= 180 độ( hai góc trong cùng phía)

=> góc B= 180 độ- 60 độ= 120 độ

ta có tam giác BCE cân tại B( vì BC=BE)

=> góc BEC= ( 180 độ- 120 độ)/2= 30 độ

ta có góc MEN+ góc AED+ góc BEC= 180 độ

=> góc MEN = 180 độ- 60 độ- 30 độ= 90 độ

vì tứ giác MENF có góc EMF= góc ENF= góc MEN= 90 độ

=> tứ giác MENF là hình chữ nhật

c) gọi O là giao điểm của AC và EF

xét tứ giác AECF có:

AF//AE

AE=FC

=> tứ giác AECF là hình bình hành

=> hai đường chéo AC và EF giao nhau tại trung điểm O

xét hình chữ nhật MENF có:

hai đường chéo EF và MN giao nhau tại trung điểm mỗi đường

vì O là trung điểm của EF nên MN phải đi qua trung điểm O

=> AC,EF,MN đồng quy tại O

d) xét tam giác BCF có:

góc BCF= góc BAD= 60 độ

FC=BC

=> △BCF là tam giác đều

=> góc FBC= 60 độ

=> góc ABF= góc ABC- góc FBC= 120 độ- 60 độ= 60 độ

xét tứ giác ADFB có:

DF//AB

góc DAB= góc ABF= 60 độ

=> tứ giác ADFB là hình thang cân

e) xét hình bình hành ABCD có:

E là trung điểm AB

F là trung điểm DC

=> EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD

=> EF//AD

vì CQ⊥EF tại P

=> CQ⊥AD tại Q

xét tam giác CDQ vuông tại Q

F là trung điểm DC

EF//AD hay FP//DQ

=> P là trung điểm CQ

f) xét tam giác CEQ có:

EP vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

=> △CEQ cân tại E

EC=EQ

ta có AD//BC và CQ⊥BC

=> QC⊥BC hay góc BCQ= 90 độ

xét tam giác BEC có:

=> góc BCE= (180 độ- 120 độ):2= 30 độ

=> góc ECQ= góc BCQ- góc BCE= 90 độ- 30 độ= 60 độ

△CEQ có một góc 60 độ

=> △CEQ là tam giác đều

g) sửa đề: CM:Q,F,B thẳng hàng

ta có DQ//BC

=> góc CDQ= góc BCD= 60 độ

xét tam giác CDQ vuông tại Q có:

góc DQC+ góc QCD+ góc CDQ= 180 độ

=> góc QCD= 180 độ- 90 độ- 60 độ= 30 độ

=> \(DQ=\frac12CD\) ( cạnh đối diện góc 30 độ trong tam giác vuông)

xét tam giác FDQ và tam giác FCB có:

\(FD=FC\)

\(DQ=\frac12CD=AD=BC\)

góc FDQ= góc FCB= 60 độ

=> △FDQ=△FCB(c.g.c)

=> góc DFQ= góc CFB

mà D,F,C thẳng hàng=> góc CFB+ góc DFB= 180 độ

=> góc DFQ+ góc DFB= 180 độ

=> Q,F,B thẳng hàng(đpcm)