Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)

I đối xứng B qua G \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

a: Xét ΔGNH có

B,C lần lượt là trung điểm của GN,GH

=>BC là đường trung bình của ΔGNH

=>BC//NH và \(CB=\frac{NH}{2}\)

Xét ΔGNT có BM//NT

nên \(\frac{BM}{NT}=\frac{GM}{GT}\left(1\right)\)

Xét ΔGTH có MC//TH

nên \(\frac{MC}{TH}=\frac{GM}{GT}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{BM}{NT}=\frac{CM}{TH}\)

mà BM=CM

nên NT=TH

=>T là trung điểm của NH

Xét ΔGNT có

C,T lần lượt là trung điểm của HG,HN

=>CT là đường trung bình của ΔGNT

=>CT//GN và \(CT=\frac{GN}{2}\)

CT//GN

=>CT//GB

\(CT=\frac{GN}{2}\)

\(GB=BN=\frac{GN}{2}\)

Do đó: CT=GB=BN

Xét tứ giác GBTC có

TC//GB

TC=GB

Do đó: GBTC là hình bình hành

=>GT cắt BC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của GT

b: Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,M,G thẳng hàng và AG=2GM

AG=2GM

GT=2GM

Do đó: AG=GT

=>KA=AG=GT

mà KA+AG+GT=KT

nên \(KA=AG=GT=\frac{KT}{3}\)

\(KG=KA+AG=\frac13KT+\frac13KT=\frac23KT\)

Xét ΔKNH có

KT là đường trung tuyến

\(KG=\frac23KT\)

Do đó: G là trọng tâm của ΔKNH

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên tọa độ G:

x G = x A + ​ x B + ​ x C 3 = − 1 + ​ 5 + ​ 0 3 = 4 3 y G = y A + ​ y B + ​ y C 3 = ​ 1 + ​ ( − 3 ) + 2 3 = 0 ⇒ G 4 3 ;    0

Điểm G1 là điểm đối xứng của G qua trục Oy nên  G 1 ​   − 4 3 ;    0

Đáp án D

I đối xứng với A qua tâm G

ta có: GA = GI, GM ∈ GA ( tính chất đường trung tuyến của tam giác)

Suy ra: GM ∈ GI

Mà: GM + MI = GI và GM = AG/2 (tính chất đường trung tuyến) =>GM = GI/2

Suy ra: GM = MI nên điểm M là trung điểm của GI

Vậy I đối xứng với G qua M.