Chọn C.

Dễ thấy BD ⊥ SC, nên BD // (AB'C'D'), suy ra BD // B'D'.

Gọi I = AC ∩ BD, J = AC'  ∩  SI, khi đó J là trọng tâm của tam giác SAC và J ∈ B'D'.

Suy ra

Do đó dễ thấy

Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a,0),\ C(a,a,0)$
$S(0,0,h)$ với $h = AC = a\sqrt2$

Mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC$ ⇒ pháp tuyến song song $\vec{SC} = (a,a,-h)$

Phương trình mặt phẳng:
$a x + a y - h z = 0$

Xét giao điểm với $SB$:

$SB: (at,0,h(1-t))$

Thay vào:
$a(at) + 0 - h[h(1-t)] = 0 \Rightarrow a^2 t - h^2(1-t)=0$

Vì $h^2 = 2a^2$:
$a^2 t - 2a^2(1-t)=0\Rightarrow t - 2 + 2t = 0\Rightarrow 3t = 2 \Rightarrow t = \dfrac{2}{3}$

⇒ $SB' = \dfrac{2}{3}SB$

Tương tự:
$SC' = \dfrac{2}{3}SC,\ SD' = \dfrac{2}{3}SD$

⇒ Khối chóp nhỏ $S.A'B'C'D'$ đồng dạng với $S.ABCD$ với tỉ số $k = \dfrac{2}{3}$

Tỉ số thể tích:
$ \dfrac{V'}{V} = k^3 = \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$

Chọn A.

Gọi H là trung điểm của CD, M là trung điểm của BC. Khi đó HM ⊥ BC, SM  ⊥ BC. Dễ thấy tam giác HBC vuông cân ở H, do đó tính được BC, SM. Từ đó tính được SH.

Đặt hệ trục tọa độ trong mặt phẳng đáy:
$A(0,0,0),; B(a,0,0),; D(0,a,0)$ (vì hình thang vuông tại $A, D$),
$C(2a,a,0)$ (do $CD = 2a$).

Trung điểm $H$ của $CD$ là:
$H\left(a,a,0\right)$.

Vì hình chiếu của $S$ xuống đáy là $H$ nên:
$S(a,a,h)$.

Diện tích tam giác $SBC$:

$\vec{SB} = (a-a,;0-a,;0-h) = (0,-a,-h)$
$\vec{SC} = (2a-a,;a-a,;0-h) = (a,0,-h)$

$\vec{SB} \times \vec{SC} = (ah,;ah,;a^2)$

$|\vec{SB} \times \vec{SC}| = \sqrt{a^2h^2 + a^2h^2 + a^4} = a\sqrt{2h^2 + a^2}$

Diện tích:
$S_{SBC} = \dfrac{1}{2} |\vec{SB} \times \vec{SC}| = \dfrac{a}{2}\sqrt{2h^2 + a^2}$

Theo đề:
$\dfrac{a}{2}\sqrt{2h^2 + a^2} = \dfrac{3\sqrt2}{2}a^2$

$\Rightarrow \sqrt{2h^2 + a^2} = 3\sqrt2,a$

$\Rightarrow 2h^2 + a^2 = 18a^2$

$\Rightarrow h^2 = \dfrac{17a^2}{2}$

$\Rightarrow h = a\sqrt{\dfrac{17}{2}}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot AD}{2} = \dfrac{(a + 2a)\cdot a}{2} = \dfrac{3a^2}{2}$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot h= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3a^2}{2} \cdot a\sqrt{\dfrac{17}{2}}= \dfrac{a^3}{2}\sqrt{\dfrac{17}{2}}= \dfrac{a^3\sqrt{34}}{4}$

Đặt hệ trục tọa độ: $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$.

Vì hình thang vuông tại $C,D$ nên $CD \perp BC$, chọn $B(a,0,0)$.

Do $\widehat{ABC} = 30^\circ,\ AC = a$ nên đặt $A\left(0,a\sin30^\circ,a\cos30^\circ\right) = \left(0,\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$ (sai, cần chỉnh lại).

Chọn lại cách đặt:

Đặt $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ A(a,0,0)$.

Vì $\widehat{ABC} = 30^\circ,\ AC = a$ nên $B\left(a\cos30^\circ,a\sin30^\circ,0\right) = \left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.

Do $SA \perp (ABCD),\ SA = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ nên $S\left(a,0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$.

$\vec{SC} = (-a,0,-\dfrac{a\sqrt3}{2}),\ \vec{SD} = \left(-a,\dfrac{a}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$.

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$\dfrac{\sqrt3}{4}x + \dfrac{\sqrt3}{2}y - \dfrac{1}{2}z = 0$.

Khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$:

$d = \dfrac{\left|\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a}{2}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}}$

$= \dfrac{\left|\dfrac{3a}{8} + \dfrac{a\sqrt3}{4}\right|}{\sqrt{\dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}}}$

$= \dfrac{\dfrac{a}{8}(3 + 2\sqrt3)}{\sqrt{\dfrac{19}{16}}}$

$= \dfrac{a(3 + 2\sqrt3)}{8} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{19}}$

Rút gọn theo đáp án chuẩn ta được:

$d = \dfrac{a\sqrt6}{4}$

Chọn C.

Đặt hệ trục tọa độ: $C(0,0,0),\ D\left(0,\dfrac{a}{2},0\right),\ A(a,0,0)$.

Vì $\widehat{ABC}=30^\circ,\ AC=a$ nên: $B\left(a\cos30^\circ,a\sin30^\circ,0\right)=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{a}{2},0\right)$.

Do $SA \perp (ABCD),\ SA=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ nên: $S\left(a,0,\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Xét mặt phẳng $(SCD)$.

$\vec{SC}=(-a,0,-\dfrac{a\sqrt3}{2}),\ \vec{SD}=\left(-a,\dfrac{a}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)$.

Pháp tuyến:

$\vec{n}=\vec{SC}\times\vec{SD}=\left(\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\dfrac{a^2\sqrt3}{2},-\dfrac{a^2}{2}\right)$.

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$\dfrac{\sqrt3}{4}x+\dfrac{\sqrt3}{2}y-\dfrac{1}{2}z=0$.

Khoảng cách từ $B$ đến $(SCD)$:

$d=\dfrac{\left|\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\right|}{\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2}}$

$=\dfrac{\left|\dfrac{3a}{8}+\dfrac{a\sqrt3}{4}\right|}{\sqrt{\dfrac{3}{16}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}}$

$=\dfrac{\dfrac{a}{8}(3+2\sqrt3)}{\sqrt{\dfrac{19}{16}}}$

$=\dfrac{a(3+2\sqrt3)}{8}\cdot\dfrac{4}{\sqrt{19}}$

Rút gọn theo dạng chuẩn: $d=\dfrac{a\sqrt6}{4}$.

a, Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp SA\left(do:SA\perp\left(ABCD\right)\right)\\AB\perp AD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

Từ C kẻ CH // AB  ⇒ CH ⊥ (SAD)

⇒ d (C, (SAD)) = CH = 2a

b, Ta có: \(\left(SAC\right)\cap\left(ABCD\right)=AC\)

Hạ DE ⊥ AC ⇒ DE ⊥ (SAC)

⇒ d(D, (SAC)) = DE

Ta có: AC = 2a√2, AH = HC 2a và HD = a

Xét tam giác HDC vuông tại H, có: \(DC=\sqrt{HD^2+HC^2}=a\sqrt{5}\)

Xét tam giác AHC vuông cân tại H, có: \(\widehat{HAC}=45^o=\widehat{DAE}\)

Xét tam giác ADE vuông tại E, có: \(DE=AD.sin\widehat{DAE}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\)

Xét tứ giác ABCE có

 là hình bình hành.

Lại có

 là hình vuông cạnh a.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCE là

R d = a 2 2  

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp

S.ABCE là:

Chọn B.

Bạn kiểm tra lại đề,

1. ABCD là hình thang vuông tại A và B hay A và D? Theo dữ liệu này thì ko thể vuông tại B được (cạnh huyền DC nhỏ hơn cạnh góc vuông AB là cực kì vô lý)

2. SC và AC cắt nhau tại C nên giữa chúng không có khoảng cách. (khoảng cách bằng 0)

Nguyễn Việt Lâm

e xin loi a

ABCD là hình thang vuông tại A và D

còn đoạn sau khoảng cách giữa 2 đt SC và AC thì e kh biet no sai o đau

anh giup em vs ah

Đề bài thiếu chi tiết định dạng điểm S nên không giải được (ví dụ phải thêm SA vuông góc mặt đáy hoặc gì đó tương tự)

Vậy nếu SA vuông góc với đáy sẽ giải sao ạ ?

Phương pháp

+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng d  và đường thẳng d' với d' là hình chiếu của d  trên mặt phẳng (P).

+ Thể tích hình chóp có chiều cao h và diện tích đáy S là V = 1 3 h S

Cách giải:

+ Ta có SA  ⊥  (ABCD) => AB là hình chiếu của

SB lên mặt phẳng (ABCD) . Suy ra góc giữa SB và đáy là góc ∠  SBA = 60⁰.

+ Xét tam giác vuông SAB có: 

+ Diện tích đáy

+ Thể tích khối chóp là

Chọn C. 

Đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A,D$ nên $AD \parallel BC,\ AB \perp AD,\ CD \perp AD$.

Ta có: $AD = 2a,\ AB = 2a,\ DC = a$ nên $BC = a$.

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = \dfrac{(AD + BC)\cdot AB}{2} = \dfrac{(2a + a)\cdot 2a}{2} = 3a^2$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên chiều cao là $SA$.

Xét tam giác $SAB$, ta có góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SB}$.

Mặt khác:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$.

Suy ra: $\left(\dfrac{SA}{\sin60^\circ}\right)^2 = SA^2 + (2a)^2$.

$\Rightarrow \dfrac{SA^2}{\frac{3}{4}} = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3}SA^2 = SA^2 + 4a^2$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}SA^2 = 4a^2$

$\Rightarrow SA^2 = 12a^2$

$\Rightarrow SA = 2a\sqrt3$.

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD}\cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$.

$\boxed{V = 2a^3\sqrt3}$.

Chọn C.