cho a,b,c >0; a+b+c = 3
chứng minh \(4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge9\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CP
0
5 tháng 2 2016
ta có (a+b)(b+c)(c+a)+abc
=(a+b)(bc+ab+c^2+ca)+abc
=(a+b)(bc+ab+ca+c^2)+abc
=(a+b).c^2+abc
=ac^2+bc^2+abc
=c(ac+bc+ab)=c.0=0 (đpcm)
CM
11 tháng 10 2019
Ta có: AB → = (−a; b; 0) và AC → = (−a; 0; c)
Vì AB → . AC → = a 2 > 0 nên góc ∠ BAC là góc nhọn.
Lập luận tương tự ta chứng minh được các góc ∠ B và ∠ C cũng là góc nhọn.
TP
0
1 tháng 1 2023
*bạn kí tự vecto vào bài nhé
Gọi trọng tâm tam giác ABC là G
Ta có \(2GB+3GC=2\left(GM+MB\right)+3\left(GM+MC\right)=5GM+2MB+3MC=5GM\)
tượng tự \(2GC+3GA=5GN\)
\(2GA+3GB=5GP\)
cộng vế với vế ta được
\(GA+GB+BC=GN+GM+GP\Leftrightarrow GN+GM+GP=0\)
Vậy G là trọng tâm tam giác MNP
PT
Cho (a2−bc)(b−abc)=(b2−ac)(a−abc);abc≠0;a≠b(a2−bc)(b−abc)=(b2−ac)(a−abc);abc≠0;a≠b
CMR:1a+1b+1c=a+b+c
0
TN
0
Từ \(a+b+c=3\) ta có:
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=1+m\\b=1+n\\c=1-m+n\end{cases}\left(-1< m+n< 1\right)}\)
\(\rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)
\(=4\left[\left(1+m\right)^2+\left(1+n^2\right)+\left(1-m-n\right)^2\right]-\left[\left(1+m\right)^3+\left(1+n\right)^3+\left(1-m-n\right)^3\right]\)
\(=4\left(1+2m+m^2+1+2n+n^2+1+m^2+n^2-2m-2n+2mn\right)\)
\(-\left(6m^2+6n^2+6mn-3m^2n-3mn^2+3\right)\)
\(=4\left(2m^2+2n^2+3+2mn\right)-6m^2-6n^2+3m^2n+3mn^2-3\)
\(=2m^2+2n^2+2mn+3m^2n+3mn^2+9\)
\(=\left(m+n\right)^3+\left(m+n\right)^2=\left(m+n\right)^2\left(m+n+1\right)+9\ge9\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=n=0\) hay \(a=b=c=1\).
Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Rút a3 + b3 + c3 ra rồi thế vào VT bđt ta được
VT = 9 + ab + bc + ca - 3abc
Mặt khác ab + bc + ca >= 3 căn 3 của a2b2c2 >= 3abc (vì abc <=1).
Do đó VT >=9. Đpcm.