Ta có $BE \perp AC,\ CF \perp AB$ nên:
$\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$.

=> $A,E,F,H$ cùng thuộc một đường tròn (đường kính $AH$).

Vì $I$ là trung điểm của $AH$ nên:
$I$ là tâm đường tròn đường kính $AH$.

Do đó: $IE = IF$.

Lại có $O$ là trung điểm của $BC$ nên: $OB = OC$.

Xét tam giác $BHC$ ta có:
$HB = HC$ (tính chất trực tâm trong tam giác nhọn).

=> $H$ nằm trên đường trung trực của $BC$.

Do đó: $OH \perp BC$.

Mà $E,F \in BC$ nên: $OE \perp IH,\quad OF \perp IH$.

=> $\widehat{IEO} = 90^\circ,\quad \widehat{IFO} = 90^\circ$.

Vậy: $\triangle IEO$ và $\triangle IFO$ đều là tam giác vuông.

A B C E F H I K 1 3 4

Như hình vẽ => độ dài IK =5cm

a: Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó; ΔABN vuông tại B

=>BA⊥BN

mà CH⊥BA

nên CH//BN

Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>AC⊥CN

mà BH⊥AC

nên BH//CN

Xét tứ giác BHCN có

BH//CN

BN//CH

Do đó: BHCN là hình bình hành

=>CB cắt HN tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CB

nên M là trung điểm của HN

Xét ΔABC có

AM là đường trung tuyến

G là trọng tâm

Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\frac23AM\)

Xét ΔAHN có

AM là đường trung tuyến

\(AG=\frac23AM\)

Do đó: G là trọng tâm của ΔAHN

Xét ΔAHN có

G là trọng tâm

O là trung điểm của AN

DO đó: H,G,O thẳng hàng

c: Xét (O) có

\(\hat{BQA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA

=>\(\hat{BQA}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BCA}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{EBC}\right)\)

nên \(\hat{BHQ}=\hat{BQH}\)

=>ΔBHQ cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là đường trung trực của HQ

=>H đối xứng Q qua BC

Xét (O) có

\(\hat{APB};\hat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{APB}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ACB}=\hat{AHE}\left(=90^0-\hat{HAE}\right)\)

nên \(\hat{AHP}=\hat{APH}\)

=>ΔAPH cân tại A

ΔAPH cân tại A

mà AC là đường cao

nên AC là đường trung trực của PH

=>P đối xứng H qua AC

Xét (O) có

\(\hat{CRA};\hat{CBA}\) là các góc nội tiếp chắn cung CA

=>\(\hat{CRA}=\hat{CBA}\)

mà \(\hat{CBA}=\hat{AHF}\left(=90^0-\hat{HAF}\right)\)

nên \(\hat{ARH}=\hat{AHR}\)

=>ΔAHR cân tại A

mà AB là đường cao

nên AB là đường trung trực của HR

=>H đối xứng R qua AB

d: Qua A, kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

=>OA⊥ Ax tại A

Xét (O) có
\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{ABC}=\hat{AEF}\left(=180^0-\hat{FEC}\right)\)

nên \(\hat{xAC}=\hat{AEF}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên Ax//EF

Ax//FE

OA⊥ Ax

Do đó: OA⊥ FE

Ta có: ΔEAH vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IH

=>ΔIEH cân tại I

=>\(\widehat{IHE}=\widehat{IEH}\)

mà \(\widehat{IHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{BHD}=\widehat{BCE}\left(=90^0-\widehat{EBC}\right)\)

 nên \(\widehat{IEH}=\widehat{BCE}\)

Ta có: ΔEBC vuông tại E

mà EO là đường trung tuyến

nên OE=OB

=>ΔOEB cân tại O

=>\(\widehat{OEB}=\widehat{OBE}\)

Ta có: \(\widehat{IEO}=\widehat{IEH}+\widehat{OEH}\)

\(=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)

=>ΔIEO vuông tại E

Ta có: ΔAFH vuông tại F

mà FI là đường trung tuyến

nên FI=IH

=>FI=IE

=>I nằm trên đường trung trực của FE(1)

Ta có: ΔBFC vuông tại F

mà FO là đường trung tuyến

nên \(FO=\dfrac{BC}{2}\)

mà EO=BC/2

nên FO=EO

=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)

Từ (1) và (2) suy ra IO là đường trung trực của EF

=>IO\(\perp\)EF tại K và K là trung điểm của FE

Xét ΔIEO vuông tại E có EK là đường cao

nên \(IK\cdot IO=IE^2\)

=>\(IK\cdot IO=\left(\dfrac{1}{2}AH\right)^2=\dfrac{1}{4}AH^2\)

=>\(AH^2=4\cdot IK\cdot IO\)

thưc ra tui ko định trl đâu mà nhìn dài quá..... Xét tam giác AFH có : FI= \(\frac{AH}{2}\)\(\left(\ast\right)\) ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AFH ta được: \(FI^2=IK.IO\) (**)

từ (*) và (**) ta có \(\frac{AH^2}{4}=IK.IO\)

<=> \(AH^2=4IK.IO\)