Xét tứ giác ADHE có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0\)

=> Tư giác ADHE là hình chữ nhật

\(\Rightarrow DE=AH\left(1\right)\)

Áp dụng HTL trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

\(AH^2=HB.HC\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow DE^2=HB.HC\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

nên \(AH^2=HB\cdot HC\left(1\right)\)

Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DE^2=HB\cdot HC\)

a: Xét tứ giác ADHE có

góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

nen AH=DE

c: Để ADHE là hình vuông thì AH là phân giác của góc DAE
=>ΔABC cân tại A

=>AB=AC

a) trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường phân giác nên AH cũng là đường phân giác nên góc BAH = góc CAH

Xét ΔADH và ΔAEH có:
góc ADH=góc AEH (= 90^o)

chung AH

góc HAD = góc HAE (cmt)

⇒ΔADH = ΔAEH(ch-gn)

⇒ DH = EH (2 cạnh tương ứng)

b) trong tam giác cân đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên AH cũng là đường trung tuyến nên HB = HC

Xét ΔBDH và ΔCEH có:

góc BDH = góc CEH (=90^o)

HB=HC(cmt)

góc B = góc C (ΔABC cân tại A)

⇒ ΔBDH = ΔCEH(ch-gn)

Hình vẽ: Bạn tự vẽ hình nhé !

a, Ta có:

△ABC cân tại A nên ∠ABC= ∠ACB hay ∠ABH= ∠ACH 

                                 và AB= AC

Xét △AHB và △AHC, có:
  AB= AC           ( theo chứng minh trên )

  ∠ABH= ∠ACH ( theo chứng minh trên )

  AH: cạnh chung

Nên: △AHB= △AHC ( c.g.c)

⇒ ∠BAH= ∠CAH ( 2 góc tương ứng ) hay ∠DAH= ∠EAD

Xét △ADH và △AEH, có:

 ∠HDA= ∠HEA=90^o ( Do HD ⊥ AB, HE ⊥ AC )

  AH: cạnh chung

  ∠DAH= ∠EAH ( theo chứng minh trên )

Nên: △ADH= △AEH ( cạnh huyền- góc nhọn )

 ⇒ AD= AE ( 2 cạnh tương ứng ) ( đcpcm )

b,

Ta có: Do △ADH= △AEH nên :HD= HE ( 2 cạnh tương ứng )

          AB= AC 

    ⇒ AD+ DB= AE+EC

  mà AD= AE nên DB= EC

Xét △BDH và △CEH, có:

  ∠BDH= ∠CEH=90^o 

  HD= HE           ( theo chứng minh trên )

  DB= EC           ( theo chứng minh trên ) 

Nên △BDH= △CEH ( c.g.c ) ( đcpcm)

mọi người giúp em dùm cái ạ -_-

\(\widehat{DAH}=90^0-\widehat{AHD}=\widehat{BHD}\).

\(\widehat{HAE}=90^0-\widehat{AHE}=\widehat{CHE}\).

-△AHD và △HBD có: \(\widehat{DAH}=\widehat{DHB};\widehat{ADH}=\widehat{BDH}=90^0\).

\(\Rightarrow\)△AHD∼△HBD (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{HD}=\dfrac{HD}{BD}\Rightarrow HD^2=AD.BD\).

-△AHE và △HCE có: \(\widehat{HAE}=\widehat{CHE};\widehat{AEH}=\widehat{HEC}=90^0\).

\(\Rightarrow\)△AHE∼△HCE (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{HE}=\dfrac{HE}{CE}\Rightarrow HE^2=AE.CE\)

\(\Rightarrow HD^2+HE^2=AD.BD+AE.CE\left(1\right)\).

-Tứ giác ADHE có: \(\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=\widehat{AEH}=90^0\)

\(\Rightarrow\)ADHE là hình chữ nhật nên △DHE vuông tại H, \(AH=DE\)

\(\Rightarrow HD^2+HE^2=DE^2=AH^2\left(2\right)\)

-Từ (1), (2) suy ra: \(AH^2=AD.BD+AE.CE\)

Theo đkđb thì $AI^2=AD.AE$. Vì vậy, nếu muốn $AI^2=DE.AE$ thì $AD=DE$ (điều này vô lý vì $AD<DE$ theo tính chất cạnh huyền trong tam giác vuông.

Hình vẽ:

a: Xét tứ giác ADHE có 

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: ADHE là hình chữ nhật

Lời giải:
a. Xét tam giác $AHB$ và $CAB$ có:
$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0$

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow \triangle AHB\sim \triangle CAB$ (g.g)

b. Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra:

$\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{CB}$

$\Rightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{AB^2}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\frac{15^2}{\sqrt{15^2+20^2}}=9$ (cm)

c. Xét tam giác $AHD$ và $ABH$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ADH}=\widehat{AHB}=90^0$

$\Righarrow \triangle AHD\sim \triangle ABH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AH}{AB}=\frac{AD}{AH}$

$\Rightarrow AB.AD=AH^2(*)$

Tương tự ta cũng chỉ ra $\triangle AHE\sim \triangle ACH$ (g.g)

$\Rightarrow AE.AC=AH^2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow AB.AD=AE.AC$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(S_{AHB}=\frac12\cdot HD\cdot AB\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(S_{AHC}=\frac12\cdot HE\cdot AC\)

Ta có: \(S_{AHB}+S_{AHC}=S_{ABC}\)

=>\(\frac12\left(HD\cdot AB+HE\cdot AC\right)=\frac12\cdot AH\cdot BC\)

=>\(HD\cdot AB+HE\cdot AC=AH\cdot BC\)

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{AED}=\hat{AHD}\)

mà \(\hat{AHD}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{HAD}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>\(\hat{MAC}=\hat{MCA}\)

\(\hat{AED}+\hat{MAC}\)

\(=\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\)

=>AM⊥DE

c: ΔABC vuông tại A

=>\(AC^2+AB^2=BC^2\)

=>\(AC^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

\(\hat{HBA}\) chung

Do đó; ΔBHA~ΔBAC

=>\(\frac{AH}{AC}=\frac{BA}{BC}\)

=>\(AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot8}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)