Kéo dài AD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại H'.

Đặt x=HD; 
Vì góc BAC nhọn và do H' đối xứng với H qua BC nên ta có: DH'=HD=x; CH'=CH=30
Áp dụng Pitago cho tg vuông ACH':

AC^2+(CH')^2=(AH')^2 -->AC^2+900=(14+2x)^2 (*)
Mặt khác CD^2= AD.DH' --> CD^2=(14+x).x (**)
trừ 2 vế (*) và (**):

AC^2+900-CD^2 =(14+2x)^2 -(14+x).x (***)
Mà AC^2-CD^2 =AD^2 =(14+x)^2;

Thế vào (***) ta được ph.tr:

(14+x)^2+900 =(14+2x)^2-(14+x)x ---> x^2+7x-450=0
phtr trên có nghiệm x= -25 (loại) và x= 18 (nhận)
AD= 14+x =14+18= 32 cm

a: Xét (O) có

ΔACN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔACN vuông tại C

=>AC⊥CN

mà BH⊥AC
nên BH//CN

b:

Xét ΔABC có

AD là đường cao

H là trực tâm

Do đó: A,H,D thẳng hàng

Xét (O) có

\(\hat{AMB};\hat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB

=>\(\hat{AMB}=\hat{ACB}\)

mà \(\hat{ACB}=\hat{BHD}\left(=90^0-\hat{HBD}\right)\)

nên \(\hat{BHD}=\hat{BMD}\)

=>ΔBHM cân tại B

ΔBHM cân tại B

mà BD là đường cao

nên D là trung điểm của HM

=>DH=DM

c: Gọi I là giao điểm của HN và BC

Xét (O) có

ΔABN nội tiếp

AN là đường kính

Do đó: ΔABN vuông tại B

=>BN⊥BA

mà CH⊥BA

nên BN//CH

Xét tứ giác BHCN có

BH//CN

BN//CH

Do đó: BHCN là hình bình hành

=>BC cắt HN tại trung điêm của mỗi đường

=>I là trung điểm chung của BC và HN

Xét ΔAHN có

O,I lần lượt là trung điểm của AN,HN

=>OI là đường trung bình của ΔAHN

=>OI=AH/2=R/2

ΔOBC cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥BC tại I và OI là phân giác của góc BOC

Xét ΔOIB vuông tại I có cos BOI=OI/OB=1/2

nên \(\hat{BOI}=60^0\)

OI là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BOI}=120^0\)

Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

=>\(\hat{BAC}=\frac12\cdot\hat{BOC}=60^0\)

 a) Ta có:

OB = OC (bán kính)

⇒ O nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do ∆ABC cân tại A (gt)

AH là đường cao (gt)

⇒ AH cũng là đường trung trực của ∆ABC

⇒ AH là đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra O ∈ AH

⇒ O ∈ AD

Vậy AD là đường kính của (O)

b) Sửa đề: Tính độ dài các đường cao AH, BK của ∆ABC

Do AH là đường trung trực của BC (cmt)

⇒ H là trung điểm của BC

⇒ CH = BC : 2

= 12 : 2

= 6 (cm)

∆AHC vuông tại H

⇒ AC² = AH² + CH² (Pytago)

⇒ AH² = AC² - CH²

= 10² - 6²

= 64

⇒ AH = 8 (cm)

⇒ sinACH = AH/AC

= 4/5

⇒ ACH ≈ 53⁰

⇒ BCK ≈ 53⁰

∆BCK vuông tại K

⇒ sinBCK = BK/BC

⇒ BK = BC.sinBCK

= 10.sin53⁰

≈ 8 (cm)

lấy bài trên mạng à bạn đừng làm thế

Gọi H' đối xứng với H qua BC, D là giao điểm của AH và BC.

Dễ thấy BHCH' là hình thoi. 

\(\Rightarrow\Delta ABH'\)vuông tại B

\(\Rightarrow H'B^2=H'D.H'A\)

\(\Leftrightarrow BH^2=HD\left(2HD+14\right)\)

\(\Leftrightarrow30^2=HD\left(2HD+14\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}HD=18\\HD=-25\left(l\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AD=14+18=32\\BD=\sqrt{30^2-18^2}=24\end{cases}}\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{32^2+24^2}=40\)

mình không biết làm

Từng bài 1 thôi bạn!

A B C J O N K H M

vẽ trên đt thông cảm!

Do đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là O

Ta có bổ đề: \(OM=AN=NH=\frac{1}{2}AH\)(tự chứng minh)

Vì \(\widehat{BAH}=\widehat{OAC}\)(cùng phụ với \(\widehat{ABC}\)) 

Mà AK là phân giác của \(\widehat{BAC}\)

=> AK là phân giác 

\(\widehat{HAO}\Rightarrow\widehat{NAK}=\widehat{KAO}\)

Theo bổ đề trên ta có tứ giác ANMO là hình bình hành

=> HK//AO

=> \(\widehat{AKN}=\widehat{KAO}=\widehat{NAK}\left(cmt\right)\)

Hay tam giác NAK cân tại N mà N là trung điểm AH

=> AN=NH=NK

=> \(\Delta AHK\)vuông tại K

Đề sai rồi bạn

\({}\)

a) Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o\) nên tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự như thế, tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn đường kính AB. Cũng có \(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\) nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Ta có \(\widehat{IEM}=\widehat{IEB}+\widehat{BEM}\) 

\(=\left(90^o-\widehat{IEA}\right)+\widehat{EBC}\)

\(=90^o-\widehat{EAD}+\widehat{EBD}=90^o\) (do \(\widehat{EBD}=\widehat{EAD}\))

Vậy \(IE\perp ME\)

b) Dễ thấy các điểm I, D, E, F, M, K cùng thuộc đường tròn đường kính IM. Gọi J là trung điểm AI thì I chính là tâm của đường tròn (AIK) nên (J) tiếp xúc với (I) tại A. Dẫn đến A nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J)

 Mặt khác, ta có \(SK.SI=SE.SF\) nên \(P_{S/\left(I\right)}=P_{S/\left(J\right)}\) hay S nằm trên trục đẳng phương của (I) và (J). Suy ra AS là trục đẳng phương của (I) và (J). \(\Rightarrow\)\(AS\perp IJ\) hay AS//BC (đpcm).

c) Ta thấy tứ giác AKEP nội tiếp đường tròn AP

\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{MKE}=\widehat{MDE}=\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\Delta BAE~\Delta BPA\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{BAP}=\widehat{BEA}=90^o\)

\(\Rightarrow\) AP//QH \(\left(\perp AB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IAP}=\widehat{IHQ}\) (2 góc so le trong)

Từ đó dễ dàng chứng minh \(\Delta IAP=\Delta IHQ\left(g.c.g\right)\) \(\Rightarrow IP=IQ\) hay I là trung điểm PQ (đpcm)