Bài 4: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=21^2+28^2=441+784=1225=35^2\)

=>BC=35(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\frac{21^2}{35}=12,6\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\frac{BD}{BA}=\frac{CD}{CA}\)

=>\(\frac{BD}{21}=\frac{CD}{28}\)

=>\(\frac{BD}{3}=\frac{CD}{4}\)

mà BD+CD=BC=35cm

nen Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\frac{BD}{3}=\frac{CD}{4}=\frac{BD+CD}{3+4}=\frac{35}{7}=5\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>\(BD=3\cdot5=15\left(\operatorname{cm}\right)\)

Vì BH<BD

nên H nằm giữa B và D

=>BH+HD=BD

=>HD=15-12,6=2,4(cm)

Bài 3:

BH/CH=9/16

=>\(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{16}\)

Đặt \(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{16}=k\)

=>BH=9k; CH=16k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

=>\(9k\cdot16k=48^2\)

=>\(k^2=\frac{48^2}{144}=16=4^2\)

=>k=4

=>\(BH=9\cdot4=36\left(\operatorname{cm}\right);CH=16\cdot4=64\left(\operatorname{cm}\right)\)

BC=BH+CH

=36+64=100(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BA^2=36\cdot100=3600=60^2\)

=>BA=60(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=100^2-60^2=6400=80^2\)

=>AC=80(cm)

Bài 2: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BA^2=BH\cdot BC;CA^2=CH\cdot CB\)

=>\(\frac{BA^2}{CA^2}=\frac{BH}{CH}\)

=>\(\frac{BH}{CH}=\left(\frac37\right)^2=\frac{9}{49}\)

=>\(\frac{BH}{9}=\frac{CH}{49}=k\)

=>BH=9k; CH=49k

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot CH=AH^2\)

=>\(9k\cdot49k=42^2\)

=>\(k^2=4=2^2\)

=>k=2

=>BH=9*2=18(cm); CH=49*2=98(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{9}{49}\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9}{49}CH\)

Ta có: \(BH\cdot CH=AH^2\)

\(\Leftrightarrow CH^2\cdot\dfrac{9}{49}=42^2=1764\)

\(\Leftrightarrow CH^2=9604\)

\(\Leftrightarrow CH=98\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BH=18\left(cm\right)\)

Ta có: AB:AC=3:4

nên \(AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{3}{4}AC\right)^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{6^2}=\dfrac{1}{36}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}AC^2}+\dfrac{\dfrac{9}{16}}{\dfrac{9}{16}AC^2}=\dfrac{1}{36}\)

\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\dfrac{9}{16}=36\cdot\dfrac{25}{16}=\dfrac{225}{4}\)

\(\Leftrightarrow AC^2=100\)

hay AC=10(cm)

Ta có: \(AB=\dfrac{3}{4}AC\)

nên \(AB=\dfrac{3}{4}\cdot10=7.5\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=7.5^2-6^2=4.5^2\)

hay BH=4,5(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔACH vuông tại H, ta được:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

\(\Leftrightarrow HC^2=10^2-6^2=64\)

hay HC=8(cm)

Ta có: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

nên \(AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{9}{16}AC^2}+\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{576}\)

\(\Leftrightarrow AC^2\cdot\dfrac{9}{16}=576\cdot\dfrac{25}{16}=900\)

\(\Leftrightarrow AC^2=1600\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AC=40\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AB=30\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BC=50cm\)

AB^2 = BH x BC (1) 
AC^2 = HC x BC (2) 

Lấy (1) : (2) => AB^2/AC^2 = BH/HC <=> 9/49 = BH/CH 

Vậy tỉ lệ BH:HC cần tìm là 9:49

Ta có 
AB^2 = BH x BC (1) 

AC^2 = HC x BC (2) 

Lấy (1) : (2) => AB^2/AC^2 = BH/HC <=> 9/49 = BH/CH 

Vậy tỉ lệ của BH:HC cần tìm là 9:49

cho bài chứng minh đi mấy bài này mk sai lém hihi ^^