Kéo dài AD và BC, chúng cắt nhau tại M, dựng đường cao DH.

ABCD là hình thang cân

=>góc ADC=góc DCB=180-60=120 độ

AB//CD

=>góc KCB=góc CBA=60 độ

Xét tứ giác ABKH có

KH//AB

AH//BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH=8cm

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

góc ADH=góc BCK

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>HD=KC=2cm

HD+DC+CK=HK

=>2+2+DC=8

=>DC=4(cm)

Sửa đề: M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

a: AD=AB

=>\(\hat{ABD}=\hat{ADB}\)

mà \(\hat{ABD}=\hat{BDC}\) (hai góc so le trong, AB//CD)

nên \(\hat{ADB}=\hat{CDB}\)

=>DB là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADB}=\hat{CDB}=\frac12\cdot\hat{ADC}=30^0\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{BCD}=\hat{ADC}\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

Xét ΔBDC có \(\hat{BCD}+\hat{BDC}=90^0\)

nên ΔBDC vuông tại B

ABCD là hình thang cân

=>AD=BC

=>BC=a

Xét ΔBDC vuông tại B có sin BDC=\(\frac{BC}{CD}\)

=>\(\frac{a}{CD}=\sin30=\frac12\)

=>CD=2a

ΔBDC vuông tại B

=>\(BD^2+BC^2=CD^2\)

=>\(BD^2=\left(2a\right)^2-a^2=3a^2\)

=>\(BD=a\sqrt3\)

Kẻ BH⊥CD tại H

Xét ΔBDC vuông tại B có BH là đường cao

nên \(BH\cdot CD=BD\cdot BC\)

=>\(BH\cdot2a=a\cdot a\sqrt3=a^2\sqrt3\)

=>\(BH=\frac{a^2\sqrt3}{2a}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot\left(AB+CD\right)\cdot BH\)

\(=\frac12\cdot\frac{a\sqrt3}{2}\cdot\left(a+2a\right)=\frac{a\sqrt3}{4}\cdot3a=\frac{3a^2\sqrt3}{4}\)

b: Sửađề: Chứng minh MNPQ là hình thoi

Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔDAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>PQ là đường trung bình của ΔDAC

=>PQ//AC và \(PQ=\frac{AC}{2}\)

Xét ΔABD có

M,Q lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=>\(MQ=\frac{BD}{2}\)

PQ//AC

MN//AC

Do đó: MN//PQ

\(MN=\frac{AC}{2}\)

\(PQ=\frac{AC}{2}\)

Do đó: MN=PQ

\(MN=\frac{AC}{2};MQ=\frac{BD}{2}\)

mà AC=BD

nên MN=MQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có MN=MQ

nên MNPQ là hình thoi

a: ABCD là hình thang cân

=>\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=60^0\)

BE//AD

=>\(\hat{BEC}=\hat{ADC}\) (hai góc đồng vị)

=>\(\hat{BEC}=60^0\)

Xét ΔBEC có \(\hat{BEC}=\hat{BCE}\left(=60^0\right)\)

nên ΔBCE đều

b: Xét tứ giác ABED có

AB//ED

AD//BE

Do đó; ABED là hình bình hành

=>AB=DE

=>DE=15(cm)

DE+EC=DC

=>EC=49-15=34(cm)

ΔBEC đều

=>BC=EC=34cm

ABCD là hình thang cân

=>AD=BC

=>AD=34cm

Chu vi hình thang ABCD là:

AB+BC+DC+AD

=34+34+15+49

=68+64

=132(cm)