Cho \(0< x< y\le z\le1\) và \(3x+2y+z\le4\). Tìm Max \(S=3x^2+2y^2+z^2\) - Hoc24

Tham khảo

Khai triển Abel ta có:

\(S=\left(z-y\right)z+\left(y-x\right)\left(z+2y\right)+x\left(3x+2y+z\right)\)

\(\le\left(z-y\right).1+\left(y-x\right).3+4x=x+2y+z\)

\(=\left(1-1\right)z+\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(2y+z\right)+\dfrac{1}{3}\left(3x+2y+z\right)\)

\(\le\dfrac{2}{3}.3+\dfrac{1}{3}.4=\dfrac{10}{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=\dfrac{1}{3},y=z=1\)

sai đề

khong phai sai de dau ban gi oi

Ta có : 3x=2y=2y

=> x/2=y/3

=>x/10=y/15 (1)

2y=5z

=>y/5=z/2

=>y/15=z/6(2)

Từ 1 và 2 =>x/10=y/15=z/6

Tự giải

Ta có : \(3x=2y\Rightarrow x=\frac{2y}{3}\)(1)

            \(2y=5z\Rightarrow z=\frac{2y}{5}\)(2)

Thay (1) và (2) vào biểu thức x - y + z = 32 ; ta được: 

\(\frac{2y}{3}-y+\frac{2y}{5}=32\Rightarrow10y-15y+6y=480\Rightarrow y=480\)

Với \(y=480\Rightarrow x=\frac{2.480}{3}=320;z=\frac{2.480}{5}=192\)

KL : 

\(S=x\left(3x+2y+z\right)+\left(y-x\right)\left(2y+z\right)+\left(z-y\right).y\)

\(S\le4x+3\left(y-x\right)+z-y=x+2y+z\)

\(S\le\dfrac{1}{3}\left(3x+2y+z\right)+\dfrac{2}{3}\left(2y+z\right)\le\dfrac{1}{3}.4+\dfrac{2}{3}.3=\dfrac{10}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{3};1;1\right)\)

Ta có `3x=2y=z=>(3x)/6=(2y)/6=z/6=>x/2=y/3=z/6`

Áp dụng tc dãy tỉ số bằng nhau ta có :

`x/2=y/3=z/6 =(x+y+z)/(2+3+6)=99/11=9`

`=>x/2=9=>x=9×2=18`

`=>y/3=9=>y=9×3=27`

`=>z/6=9=>z=9×6=54`

\(3x=2y=z\) và \(x+y+z=99\)

Từ \(3x=2y=z\) suy ra \(\dfrac{x}{\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{y}{0,5}=\dfrac{z}{1}\)

\(\dfrac{x}{\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{y}{0,5}=\dfrac{z}{1}=\dfrac{z+y+z}{\dfrac{1}{3}+0,5+1}=\dfrac{99}{\dfrac{4}{3}+0,5}=54\)

Suy ra:

 \(x=54\cdot\dfrac{1}{3}=18\)

\(y=54\cdot0.5=27\)

\(z=54\)