a: Gọi (d1):y=ax+b là phương trình đường thẳng AC

ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD

=>(d1)⊥d

=>2a=-1

=>\(a=-\frac12\)

=>\(y=-\frac12x+b\)

Thay x=1 và y=3 vào \(y=-\frac12x+b\) , ta được:

\(-\frac12\cdot1+b=3\)

=>b-0,5=3

=>b=3,5

=>y=-0,5x+3,5

b: Gọi O là giao điểm của (d) và (d1)

=>O là giao điểm của AC và BD

Tọa độ O là: \(\begin{cases}2x+6=-0,5x+3,5\\ y=2x+6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2,5x=-2,5\\ y=2x+6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\ y=2\cdot\left(-1\right)+6=-2+6=4\end{cases}\)

O(-1;4); A(1;3)

=>\(AO^2=\left(1+1\right)^2+\left(3-4\right)^2=2^2+\left(-1\right)^2=5\)

=>\(AO=\sqrt5\)

ABCD là hình vuông

=>AC⊥BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD

=>AC⊥BD tại O; O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

O là trung điểm của AC

=>\(AC=2\cdot AO=2\sqrt5\)

AC=BD

=>\(BD=2\sqrt5\)

Diện tích hình vuông ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot2\sqrt5=\frac12\cdot20=10\)

I là trọng tâm của ΔABC

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3\cdot x_I\\y_A+y_B+y_C=3\cdot y_I\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3+\left(-1\right)+x_C=3\cdot1=3\\-1+2+y_C=3\cdot1=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3-2=1\\y_C=3-1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: C(1;2)

Ta có: A(3;-1); B(-1;2); C(1;2); D(x;y)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right);\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: D(5;-1)

Tâm O của hình bình hành ABCD sẽ là trung điểm của AC

A(3;-1); C(1;2); O(x;y)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+1}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\y=\dfrac{-1+2}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng công thức trọng tâm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B+x_C=3x_I\\y_A+y_B+y_C=3y_I\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_I-\left(x_A+x_B\right)=1\\y_C=3y_I-\left(y_A+y_B\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(1;2\right)\)

Đặt tọa độ D là \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;3\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(1-x;2-y\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình bình hành \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-x=-4\\2-y=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(5;-1\right)\)

Tâm O hình bình hành là trung điểm đường chéo AC nên áp dụng công thức trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}=2\\y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(2;\dfrac{1}{2}\right)\)

Chọn đáp án C.

Tọa độ điểm M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_M=\dfrac{1+1}{2}=1\\y_M=\dfrac{0+4}{2}=2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm N là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_N=\dfrac{1+5}{2}=3\\y_N=\dfrac{4+4}{2}=4\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm P là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_P=\dfrac{5+7}{2}=6\\y_P=\dfrac{4+0}{2}=2\end{matrix}\right.\)

Tọa độ điểm Q là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_Q=\dfrac{7+1}{2}=4\\y_Q=\dfrac{0+0}{2}=0\end{matrix}\right.\)

Đáp án D.

Mặt phẳng (P) có 1 vecto pháp tuyến n → = ( 6 ; 3 ; - 2 )

Đường thẳng AH qua A và vuông góc vưới (P)

Suy ra phương trình của đường thẳng AH là

Suy ra H(2+6t; 5+3t; 1-2t)

Mà 

Vậy H(-4;2;3)

Đáp án D.

Mặt phẳng (P) có 1 vecto pháp tuyến n → = ( 6 ; 3 ; - 2 )

Đường thẳng AH qua A và vuông góc vưới (P)

Suy ra phương trình của đường thẳng AH là

Suy ra H(2+6t; 5+3t; 1-2t)

Mà 

Vậy H(-4;2;3)