a: H và I đối xứng nhau qua AB

nên AB vuông góc với HI tại trung điểm của HI

=>AB là phân giác của góc IAH(1)

H đối xứng K qua AC

nên AC vuông góc HK tại trung điểm của HK

=>AC là phân giác của góc HAK(2)

Từ (1), (2) suy ra góc IAK=2*90=180 độ

=>I,A,K thẳng hàng

b: 1/BH^2-1/AN^2=1/AB^2

=>(AN^2-BH^2)/(AN^2*BH^2)=1/AB^2

CA/AN=CH/HB

=>AN/CA=HB/HC=k

=>AN=k*CA; HB=k*HC

\(\dfrac{AN^2-BH^2}{AN^2\cdot BH^2}=\dfrac{k^2\cdot CA^2-k^2\cdot HC^2}{k^2\cdot CA\cdot HC}=\dfrac{CA^2-HC^2}{CA\cdot HC}=\dfrac{AH^2}{AC\cdot HC}=\dfrac{HB}{AC}\)

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{HB}{AC}\Leftrightarrow AB^2\cdot HB=AC\)

=>\(BH^2\cdot HC=AC\Leftrightarrow BH^2=\dfrac{AC}{HC}\)(vô lý)

=>Đề câu b sai nha bạn

a: I đối xứng H qua AB

=>AB là đường trung trực của IH

=>AI=AH và BI=BH

H đối xứng K qua AC

=>AC là đường trung trực của HK

=>AH=AK và CH=CK

Xét ΔAIB và ΔAHB có

AI=AH

BI=BH

AB chung

Do đó: ΔAIB=ΔAHB

=>\(\hat{IAB}=\hat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc IAH

=>\(\hat{IAH}=2\cdot\hat{BAH}\)

Xét ΔAHC và ΔAKC có

AH=AK

CH=CK

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{HAC}=\hat{KAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAK

=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)

Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>\(\hat{BAC}=90^0\)

\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{KAH}\)

\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)

=>I,A,K thẳng hàng

Ta có: ΔAIB=ΔAHB

=>\(\hat{AIB}=\hat{AHB}\)

=>\(\hat{AIB}=90^0\)

=>BI⊥IK

ΔAHC=ΔAKC

=>\(\hat{AHC}=\hat{AKC}\)

=>\(\hat{AKC}=90^0\)

=>CK⊥IK

mà BI⊥IK

nên BI//CK

=>BIKC là hình thang

Ta có: AI=AH

AK=AH

Do đó: AI=AK

=>A là trung điểm của IK

Xét hình thang BIKC có

A,O lần lượt là trung điểm của IK,BC

=>AO là đường trung bình của hình thang BIKC

=>AO//BI//KC

=>AO⊥IK tại A

=>IK là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>\(\hat{ACB}=90^0\)

Xét tứ giác CEHF có \(\hat{CEH}=\hat{CFH}=\hat{ECF}=90^0\)

nên CEHF là hình chữ nhật

=>\(\hat{CFE}=\hat{CHE}\)

mà \(\hat{CHE}=\hat{CAB}\left(=90^0-\hat{HCE}\right)\)

nên \(\hat{CFE}=\hat{CAB}\)

Gọi Cx là tiếp tuyến tại C của (O)

=>CO⊥Cx tại C

Xét (O) có

\(\hat{xCB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Cx và dây cung CB

\(\hat{CAB}\) là góc nội tiếp chắn cung CB

Do đó: \(\hat{xCB}=\hat{CAB}\)

mà \(\hat{CAB}=\hat{CFE}\)

nên \(\hat{xCB}=\hat{CFE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nen Cx//FE

=>FE⊥OC

=>OC⊥MN

ΔOMN cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc MON

Xét ΔOMC và ΔONC có

OM=ON

\(\hat{MOC}=\hat{NOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOMC=ΔONC

=>CM=CN

cm dc: tam giac ACH dong dang voi tam giac DCB

=> DC/AC = CB/CH

=> DC= AC.CB/CH

MA CH= 2/3 IC =>CH^2 =4/9. IC^2 =4/9. AC.CB => THE VAO TINH DUOC DC THEO R =CAN5/4.R

=>DIEN TICH=CAN5/4. R^2