Chọn B

B

a: \(f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (0 < x < 2) \\ 2 & (x \ge 2) \\ (x - 1)^2 & (x \le 0) \end{cases}\)

Tại x=0 thì ta có:

\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = (0 - 1)^2 = 1\)

\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2(0) + 1 = 1\)

Vì \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1\) nên hàm số liên tục tại x=0

Tại x=2 thì ta có:

\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2(2) + 1 = 5\)

\(\lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 2\)

Vì \(\lim_{x\to2^{-}}f(x)<>\lim_{x\to2^{+}}f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại x=2

=>Hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;2); (2;+∞)

b: \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} & (x \neq 1) \\ -\dfrac{1}{2} & (x = 1) \end{cases}\)

Khi x=1 thì ta có:

\(\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x - 2) = 1 - 2 = -1\)

\(f(1) = -\dfrac{1}{2}\)

Vì \(\lim_{x\to1}f(x)<>f(1)\) nên hàm số gián đoạn tại x=1

=>Hàm số liên tục trên các khoảng (-∞;1); (1;+∞)

Ta có f(x) = (x – 1)² = 1 và f(x) = (-x²) = 0.

vì f(x) ≠ nên hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0, do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0.

Ta có = = (2 + ∆x) = 2.

Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f'(2) = 2.

Vì f(x) liên tục trong từng khoảng xác định (f(x) là đa thức) nên f(x) liên tục trên R

Hàm liên tục với mọi \(x\ne1\)

Xét tại \(x=1\) ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(2x^2+3x\right)=2.1^2+3.1=5\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(ax+2\right)=a+2\)

\(f\left(1\right)=a+2\)

Hàm liên tục trên toàn R khi hàm liên tục tại \(x=1\)

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+2=5\Rightarrow a=3\)

Lời giải:
\(\lim\limits_{x\to 1+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1+}(5x-2)=3\)

\(\lim \limits_{x\to 1-}f(x)=\lim \limits_{x\to 1-}(2+2x)=4\)

\(\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1+}f(x)\neq \lim \limits_{x\to 1-}f(x)\)

Do đó hàm số không liên tục tại $x=1$

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}2x+2=2\cdot1+2=4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}5x-2=5-2=3\)

\(f\left(1\right)=2+2\cdot2=4\)

Vì \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)< >\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\)

nên hàm số bị gián đoạn tại x=1

\(f\left(0\right)=2.0+m+1=m+1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[3]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1)}=\dfrac{1}{1+1+1}=\dfrac{1}{3}\)\(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\Leftrightarrow m+1=\dfrac{1}{3}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{3}\)

2.

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2a\right)=2a\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)

Hàm liên tục tại \(x=0\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow2a=1\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\)

3. Đặt \(f\left(x\right)=x^4-x-2\)

Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R nên liên tục trên \(\left(1;2\right)\)

\(f\left(1\right)=-2\) ; \(f\left(2\right)=12\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)=-24< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1;2)

Hay pt đã cho luôn có nghiệm thuộc (1;2)