Lần lượt áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};z+x\ge2\sqrt{zx}.\)
Suy ra: \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz.\)
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.

(x + y)(y + z)(x + z) = 8xyz

⇒ (xy + xz + y² + yz)(x + z) - 8xyz = 0

⇒ x²y + xyz + x²z + xz² + y²x + y²z + xyz + yz² - 8xyz = 0

⇒ x²y - 2xyz + yz² + xy² - 2xyz + xz² + x²z - 2xyz + y²z = 0

⇒ y(x - z)² + x(y - z)² + z(x - y)² = 0

mà x, y, z > 0 (gt)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-z\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(x-y\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x-z=0\\y-z=0\\x-y=0\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}x=z\\y=z\\x=y\end{matrix}\right.\)

⇒ x = y = z

bạn tự cm x+y+z=0 đi rồi làm tiếp

dễ dàng CM: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow3xyz\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le3\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 

\(\frac{x^2}{y+2}+\frac{y+2}{9}+\frac{x}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2}{y+2}.\frac{y+2}{9}.\frac{x}{3}}=x\)

CM tương tự với các phân số còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:

\(P\ge x+y+z-\frac{x+2}{9}-\frac{y+2}{9}-\frac{z+2}{9}-\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-\frac{z}{3}\)

\(=\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\)

Phải CM: \(\frac{5}{9}\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\ge1\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)

Mặt khác lại có: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge\frac{9}{3}=3\)

Vậy \(x+y+z\ge3\)

Vậy BĐT ban đầu đã được CM

hay ...>=1

* Có BĐT : \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ ( Chứng minh bằng xét hiệu )

Ta có BĐT : \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\le\dfrac{2\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{2}{x+y}\)

Chứng minh tương tự khi đó :

\(P\le\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{2}{y+z}+\dfrac{2}{z+x}\)

\(\Rightarrow2P\le\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=2.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=4032\)

\(\Rightarrow P\le2016\)

bạn thay 1 vào mấy cái tử là xong

\(M=\frac{x+y}{xy}.\frac{1}{z}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{1}{z}=\frac{2}{z\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{z\left(\frac{x+y}{2}\right)}=\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{4}{z\left(1-z\right)}=\frac{4}{\frac{1}{4}-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2}\ge16\)

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4.

Giải:

Cộng \(1\) vào \(2\) vế của 3 PT ta được:

\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\)

\(\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\)

\(\left(z+1\right)\left(x+1\right)=16\)

Nhân 2 PT bất kỳ rồi chia cho cái còn lại ta được: 

\(\left(x+1\right)^2=4.\frac{16}{9}=\frac{64}{9}\Rightarrow x+1=\sqrt{\frac{64}{9}}\Rightarrow x=\frac{5}{3}\) (do \(x\) dương)

\(\left(y+1\right)^2=4.\frac{9}{16}=\frac{9}{4}\Rightarrow y+1=\sqrt{\frac{9}{4}}\Rightarrow y=\frac{1}{2}\) (do \(y\) dương)

\(\left(z+1\right)^2=9.\frac{16}{4}=36\Rightarrow z+1=\sqrt{36}\Rightarrow z=5\) (do \(z\) dương)

\(\Rightarrow P=x+y+z=\frac{5}{3}+\frac{1}{2}+5=\frac{43}{6}\)

Vậy \(P=\frac{43}{6}\)

câu hỏi khó thế

(x+y)(y+z)(x+z)=8xyz

<=>\((xy+xz+y^2+yz)(x+z)=8xyz\)

<=>\(x^2y+x^2z+y^2z+xyz+xyz+xz^2+z^2y+yz^2=8xyz\)

<=> \(x^2y+x^2z+y^2x+xz^2+y^2z+yz^2-6xyz=0\)

<=> \(y(x^2+z^2-2xz)+x(y^2-2yz+z^2)+z(y^2-2yx+x^2)=0\)

<=>\(y(x-z)^2+x(y-z)^2+z(x-y)^2=0\)

Mà x,y,z dương

=> \((x-z)^2=0=>x=z\)

\((x-y)^2=0=>x=y\)

\((y-z)^2=0=>y=z\)

Vậy x=y=z

cảm ơn ạ