a) Để tính các số hạng u1, u2, u3, u4 của dãy (un), ta thay n = 1, 2, 3, 4 vào công thức un = n^2 - 1:

u1 = 1^2 - 1 = 0 u2 = 2^2 - 1 = 3 u3 = 3^2 - 1 = 8 u4 = 4^2 - 1 = 15

Vậy u1 = 0, u2 = 3, u3 = 8, u4 = 15.

b) Để tìm số hạng thứ mấy trong dãy có giá trị 99, ta giải phương trình n^2 - 1 = 99:

n^2 - 1 = 99 n^2 = 100 n = 10 hoặc n = -10

Vì số hạng của dãy phải là số tự nhiên nên ta chọn n = 10. Vậy số hạng thứ mấy có giá trị 99 là u10.

u1 = (21 - 1)/(1 + 1) = 1/2 u2 = (22 - 1)/(2 + 1) = 3/3 = 1 u3 = (23 - 1)/(3 + 1) = 5/4 u4 = (24 - 1)/(4 + 1) = 7/5

Vậy u1 = 1/2, u2 = 1, u3 = 5/4, u4 = 7/5.

b) Để tìm số hạng thứ mấy trong dãy có giá trị 137137, ta giải phương trình (2n - 1)/(n + 1) = 137137:

(2n - 1)/(n + 1) = 137137 2n - 1 = 137137(n + 1) 2n - 1 = 137137n + 137137 137135n = 137138 n = 1

Vậy số hạng thứ mấy có giá trị 137137 là u1.

Từ công thức dãy số ta thấy \(u_n\) là cấp số cộng với \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\d=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_n=u_1+\left(n-1\right)d=2+\left(n-1\right)3=3n-1\)

\(\Rightarrow I=\lim\limits\dfrac{3n-1}{3n+1}=1\)

a: Ta có: \(u_1 = \frac{1}{3}, \quad u_{n+1} = \frac{2u_n}{2u_n(3n-1) + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\)

=>\(\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{2u_n(3n-1) + 1}{2u_n} = (3n - 1) + \frac{1}{2u_n}\)

Đặt \(v_n = \frac{1}{u_n}\)

=>\(v_1=1:\frac13=3\)

Ta có công thức truy hồi sau: \(v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n + 3n - 1\)

a: \(v_2=\frac{1}{2}v_1+3\cdot1-1=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}\)

\(v_3=\frac{1}{2}v_2+3\cdot2-1=\frac{7}{4}+5=\frac{27}{4}\)

\(v_4=\frac{1}{2}v_3+3\cdot3-1=\frac{27}{8}+8=\frac{91}{8}\)

=>\(u_4=1:\frac{91}{8}=\frac{8}{91}\)

\(v_{n+1} + A(n+1) + B = \frac{1}{2}(v_n + An + B)\)

=>\(v_{n+1}=\frac{1}{2}v_{n}-\frac{A}{2}n-A-\frac{B}{2}\)

=>\(\begin{cases} -\frac{A}{2} = 3 \\ -A - \frac{B}{2} = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} A = -6 \\ B = 14 \end{cases}\)

Đặt \(w_n = v_n - 6n + 14\)

=>\(w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n\)

=>(Wn) là cấp số nhân với \(w_1=v_1-6\cdot1+14=3-6+14=17-6=11\) và công bội là q=1/2

=>\(w_n = w_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

=>\(v_n = w_n + 6n - 14 = 11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6n - 14\)

=>\(u_n = \frac{1}{11 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} + 6n - 14}\)

Ta có: \(S = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \dots + \frac{1}{u_n}\)

=>\(S=\sum_{k=1}^{n}v_{k}\)

\(=\sum_{k=1}^{n}\left[11\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}+6k-14\right]\)

\(S_1 = 11 \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = 11 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 22 \left[ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right]\)

\(S_2 = 6 \sum_{k=1}^n k = 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 3n^2 + 3n\)

\(S_3 = \sum_{k=1}^n (-14) = -14n\)

Do đó: \(S=S_1+S_2+S_3\)

\(=22\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right]+3n^2+3n-14n\)

\(=3n^2-11n+22-22\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)

\(u_{n+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right)=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}+\dfrac{2}{n+2}\right)\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\dfrac{3}{n+1+1}=\dfrac{3}{2}\left(u_n-\dfrac{3}{n+1}\right)\)

Đặt \(u_n-\dfrac{3}{n+1}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}\\v_{n+1}=\dfrac{3}{2}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow v_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}+\dfrac{3}{n+1}\)

\(u_{n+1}=\dfrac{2}{3}u_n+\dfrac{2}{3}\Rightarrow u_{n+1}-2=\dfrac{2}{3}\left(u_n-2\right)\)

Đặt \(u_n-2=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=u_1-2=1\\v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow v_n\) là CSN với công bội \(q=\dfrac{2}{3}\Rightarrow v_n=1.\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\)

\(\Rightarrow u_n=v_n+2=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+2\)

Đáp án B

Chọn đáp án B

Đáp án B 

U 2 = 2 3 . 1 U 1 ,   U 3 = 3 3 . 2 . 2 3 . 1 U 1 , . . . , U 10 = 10 3 . 9 . 9 3 . 8 . . . 2 3 . 1 U 1 ⇒ S = U 1 + U 2 2 + U 3 3 + . . . + U 10 10 = U 1 + U 1 3 + U 1 3 3 + . . . + U 1 3 9 = U 1 1 - 1 3 10 1 - 1 3 = 29524 59049

Chọn B.

Đặt 

suy ra   trong đó V_n là cấp số nhân với công sai q = 1/3

Do đó