góc là \(\hat{A};\hat{B};\hat{C}\)

Cạnh là AB,BC,AC

góc A, B, C

cạnh AB, AC, BC

Vì các số có tận cùng là 0 hoặc 5 (hàng đơn vị)thì luôn chia hết cho 5

Ta có: S = 120 + 25 + 210

+) Vì 120 ⋮ 5; 75 ⋮ 5; 210 ⋮ 5 nên S ⋮ 5

+) vì 120 không chia hết cho 9; 75 không chia hết cho 9; 210 không chia hết cho 9 nên S không chia hết cho 9

Vậy tổng S chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 9

• Xét tứ giác \(AFHE\) ta có:
• • \(\widehat{A} = 90^\circ\) (vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\))
  • \(\widehat{AEH} = 90^\circ\) (vì \(HE \perp AB\))
  • \(\widehat{AFH} = 90^\circ\) (vì \(HF \perp AC\))
• Tứ giác \(AFHE\) có 3 góc vuông nên \(AFHE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

• Vì \(AFHE\) là hình chữ nhật (theo câu a) nên:
• • \(AE // FH\) và \(AE = FH\)
• Theo đề bài, \(M\) thuộc tia đối của tia \(FH\) và \(FM = FH\), suy ra:
• • \(FH\) và \(FM\) cùng nằm trên một đường thẳng, nên \(AE // FM\).
  • Do \(AE = FH\) và \(FM = FH\) nên \(AE = FM\).
• Xét tứ giác \(AEFM\) có:
• • \(AE // FM\)
  • \(AE = FM\)
• Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên \(AEFM\) là hình bình hành.

1. Chứng minh \(AM // BC\):
2. • Vì \(AEFM\) là hình bình hành (theo câu b) nên \(AM // EF\) (1).
   • Mặt khác, trong hình chữ nhật \(AFHE\), hai đường chéo \(AH\) và \(EF\) bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(EF\), ta có \(\triangle OAE\) cân tại \(O\) \(\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{EAH}\).
   • Ta lại có \(\widehat{EAH} = \widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\)). Suy ra \(\widehat{AEF} = \widehat{B}\).
   • Vì \(\widehat{AEF}\) và \(\widehat{B}\) ở vị trí đồng vị bằng nhau nên \(EF // BC\) (2).
   • Từ (1) và (2) suy ra \(AM // BC\).
3. Chứng minh \(AN // BC\):
4. • Chứng minh tương tự câu b, ta dễ dàng có tứ giác \(AFHN\) là hình bình hành (vì \(AF // EH \Rightarrow AF // EN\) và \(AF = EH = EN\)).
   • Vì \(AFHN\) là hình bình hành nên \(AN // FH\).
   • Mà \(FH \perp AC\) và \(AB \perp AC\) nên \(FH // AB \Rightarrow AN // AB\) (vô lý với tiên đề Euclid nếu \(N\) không nằm trên \(AB\)).
   • Cách 2 nhanh hơn cho \(AN\): Xét \(\triangle AHN\) có \(E\) là trung điểm của \(HN\) (\(EN=EH\)) và \(AE \perp HN\) (vì \(AB \perp HE\)). Do đó \(AE\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\triangle AHN\) cân tại \(A \Rightarrow AE\) cũng là phân giác \(\Rightarrow \widehat{EAN} = \widehat{EAH}\).
   • Tương tự với \(\triangle AHM\) cân tại \(A \Rightarrow \widehat{FAM} = \widehat{FAH}\).
   • Tính tổng góc: \(\widehat{MAN} = \widehat{FAM} + \widehat{FAH} + \widehat{EAH} + \widehat{EAN} = 2(\widehat{FAH} + \widehat{EAH}) = 2 \times \widehat{A} = 2 \times 90^\circ = 180^\circ\).
   • Vì \(\widehat{MAN} = 180^\circ\) nên \(A, M, N\) thẳng hàng.

a: Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}=\hat{AFH}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEHF là hình chữ nhật

b: AEHF là hình chữ nhật

=>AE//FH; AE=FH; AF//HE; AF=HE

TA có: FH//AE
=>FM//AE
Ta có: FH=AE

FH=FM

Do đó: AE=FM

Xét tứ giác AEFM có

AE//FM

AE=FM

Do đó; AEFM là hình bình hành

c:AF//HE

=>AF//EN

AF=HE

HE=EN

Do đó: AF=EN

Xét tứ giác AFEN có

AF//EN

AF=EN

Do đó: AFEN là hình bình hành

=>AN//FE và AN=FE

AEFM là hình bình hành

=>AM//FE và AM=FE

AM//FE

AN//FE
mà AN,AM có điểm chung là A

nên N,A,M thẳng hàng

AN=FE

AM=FE

Do đó: AN=AM

=>A là trung điểm của MN

vì \(\left\vert x+\frac13\right\vert>0\)

=> \(\frac{12}{\left\vert x+\frac13\right\vert+4}\le\frac{12}{4}=3\)

dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x+\frac13=0\)

=> \(x=\frac13\)

\(B = \frac{12}{\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4}\)

Ta có \(\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} \ge 0\) \(\forall x\in\mathbb{R}\)

\(\Longrightarrow\) Mẫu số \(\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4 \ge 4\)

Do phân số có tử số dương \(\left(12>0\right)\) và mẫu số luôn dương, khi mẫu số nhỏ nhất thì phân số đạt giá trị lớn nhất:

\(\frac{12}{\vert{}x + \frac{1}{3}\vert{} + 4} \le \frac{12}{4} = 3\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\vert{}x+\frac{1}{3}\vert{}=0\iff x=-\frac{1}{3}\)

Vậy maxB = 3 khi \(x=-\frac13\)

Đặt \(a = \sqrt{4 - x} \ge 0\)

Đặt \(b = \sqrt{12 + x} \ge 0\)

Từ cách đặt ta có:

\(a^2 + b^2 = (4 - x) + (12 + x) = 16\)

\(b^2 - a^2 = 2x + 8 \implies x + 3 = \frac{b^2 - a^2 - 2}{2}\) (hoặc dùng biểu thức \(28 - x = 2 \cdot 16 - (x+4)\) )

Nhận xét quan trọng: \(28 - x = 2(a^2 + b^2) - \frac{b^2 - a^2 + 8}{2} = \frac{3a^2 + 5b^2 - 8}{2}\)

Tuy nhiên, đơn giản hơn, ta biểu diễn \(x\) và các hệ số theo \(a^2\) và \(\) \(b^2\)

\(x = b^2 - 12 \implies x + 3 = b^2 - 9\)

\(28-x=40-b^2=2a^2+2b^2+8-b^2\ldots\)

Viết lại phương trình ban đầu theo \(a\) và \(b\) :

\((x + 3)ab = 28 - x\)

\(\iff(b^2-a^2-2)ab=2a^2+3b^2\quad\) (sau khi đồng nhất hệ số với \(a^2+b^2=16\) )

Ta có \((x + 3)\sqrt{(4-x)(12+x)} = 28 - x\)

\(\iff(x+3)\sqrt{48 - 8x - x^2}+(x+3)^2=(x+3)^2+28-x\)

\(\iff(x+3)\left(\sqrt{48 - 8x - x^2}+x+3\right)=x^2+5x+37\)

\(\iff(x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}=28-x\)

Bình phương 2 vế \(\Longrightarrow\) \((x + 3)^2(4 - x)(12 + x) = (28 - x)^2\)

\(\iff(x^2+6x+9)(-x^2-8x+48)=x^2-56x+784\)

\(\iff x^4+14x^3+10x^2-272x+352=0\)

\(\iff(x^2+8x-16)(x^2+6x-22)=0\)

Điều kiện: \(x>-3\)

\(x^2 + 8x - 16 = 0 \implies x = -4 \pm 4\sqrt{2}\) (thỏa mãn)

\(x^2 + 6x - 22 = 0 \implies x = -3 \pm \sqrt{31}\) (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của \(S\) là \(S = \left\{ -4 + 4\sqrt{2},\; -3 + \sqrt{31} \right\}\)

từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt DC tại E

=> ABCE là hbh

=> AE=BC

mà AD= AE

=> AD=AE

ta có DE=DC-CE=DC-AB=DC-\(\frac{DC}{2}=\frac{DC}{2}=AB\)

mà \(2AD=2AB=CD\)

=> AB=AD

=> DE=AD

từ các điều trên=> AD=AE=DE

=> △ADE đều

=> góc D= 60 độ= góc góc C

=> góc A= góc B= 120 độ

cảm on bn

Ta chọn \(a = 1\)

Khi đó:

\(a^2 + 1 = 1^2 + 1 = 2\)

Chọn n là một số lẻ lớn hơn 1, tức là:

\(n = 2k + 1\) với \(k ∈ N*\)

Ta có:

\(n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1\)
\(= 4k^2 + 4k + 2\)
\(= 2(2k^2 + 2k + 1)\)

Suy ra:

\(n^2 + 1 ⋮ 2 = a^2 + 1\)

Lại có \(a= 1 < n = 2k + 1\)

Vì có vô hạn số nguyên dương k nên có vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn

Vậy tồn tại vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn đề bài

Ta có thể viết ( A ) dưới dạng sau:
[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{49} - \frac{1}{50} \right)
]

Tính từng cặp

Mỗi cặp có dạng:
[
\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}
]
Vì vậy, ta có:
[
A = \sum_{k=1}^{25} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k} \right)
]
hoặc viết lại bằng cặp:
[
A = \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} - \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k}
]

Tính giá trị A

• 
  
• Tính tổng ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} ): đây là tổng các số hạng lẻ từ 1 đến 49.
• 
  
• Tính tổng ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{k} ).
• 
  

Ước lượng số hạng

Giá trị ( \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{k} ) gần xấp xỉ ( \ln(25) + \gamma ) (với ( \gamma ) là hằng số Euler-Mascheroni), xấp xỉ 3.69.
Vì vậy:
[
\sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k} \approx \frac{1}{2} (3.69) \approx 1.845
]
Tổng các số hạng lẻ lại xấp xỉ hơn 3.

Thiết lập bất đẳng thức

Ta có:
[
A \approx \sum_{k=1}^{25} \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2}(3.69)
]
Bằng cách tính sẽ ra được giới hạn trên và dưới cho ( A ):

• 
  
• Khi tính cẩn thận, ta có thể thấy, thực hiện cụ thể thì A dần dần hội tụ về 0.5.
• 
  

Cuối cùng, sau khi kiểm tra, ta sẽ có ( A ) nằm giữa ( \frac{7}{12} ) và ( \frac{5}{6} ).

Kết luận

Vậy nên, ta có:
[
\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}
]
THAM KHẢO

Ta có:

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{(3.4)}+\frac{1}{(5.6)}+...+\frac{1}{(49.50)}\)

Ta có:

A \(>\frac{1}{(1.2)}+\frac{1}{\left(3.4\right)}\)
\(=\frac12+\frac{1}{12}\)
\(=\frac{7}{12}\)

Mặt khác:

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1-\frac12+(\frac13-\frac14)+(\frac15-\frac16)+...+(\frac{1}{49}-\frac{1}{50})\)

Vì các số trong ngoặc đều dương nên:

A \(<1-\frac12+\frac13\)
= 5/6

Vậy: \(\frac{7}{12}<\) A \(<\frac56\) (đpcm)

\(S_vk = π(R^2 - r^2)\)

trong đó: R là bán kính lớn, r là bán kính nhỏ, R \(>\) r

\(S_vp =\) S_quạt \(-\) S_tam giác

\(=\frac{n}{360}\times\pi R^2-\) S\(_Δ\)AOB

hay nói ngắn gọn là:

Vành khuyên = hình tròn lớn − hình tròn nhỏ

Viên phân = hình quạt − tam giác (với viên phân nhỏ)

Diện tích hình vành khuyên là \(S = \pi (R^2 - r^2)\) với \(R, r\) là bán kính lớn và nhỏ. Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt tròn trừ đi diện tích tam giác cân tạo bởi tâm và hai đầu mút cung, tính bằng \(S = \frac{\pi R^2 n}{360} - \frac{1}{2}R^2 \sin n^\circ\) (với \(n^{\circ }\) là số đo góc ở tâm).

Công thức tính diện tích hình vành khuyên

• Hình vành khuyên là phần nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.
• Công thức: \(S = \pi \times (R^2 - r^2)\)
• Trong đó:
• • \(R\): Bán kính đường tròn lớn.
  • \(r\): Bán kính đường tròn nhỏ (\(R > r\)).
  • \(\pi \approx 3{,}14\).

Công thức tính diện tích hình viên phân

• Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây cung căng cung đó.
• Công thức tổng quát: \(S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt tròn}} - S_{\text{tam giác cân}}\)
• Cụ thể theo góc ở tâm \(n^{\circ }\) và bán kính \(R\):
• • Diện tích hình quạt tròn: \(S_{\text{quạt}} = \frac{\pi R^2 n}{360}\)
  • Diện tích tam giác cân (tạo bởi tâm đường tròn và 2 đầu mút của cung): \(S_{\text{tam giác}} = \frac{1}{2} R^2 \sin(n^\circ)\)
  • Công thức đầy đủ: \(S = \frac{\pi R^2 n}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin(n^\circ)\) (dùng \(\sin \) nếu bạn đã học lượng giác lớp 10, hoặc dùng hình học thuần túy hạ đường cao tùy bài toán).

(Cre: Google)

1. 1. 1 + 2 + 3 + ... + x = 210
      x(x + 1) : 2 = 210
      x(x + 1) = 420 = 20 × 21
      → x = 20
   2. A = 1/(1×2) + 1/(2×3) + ... + 1/(30×31)
      = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + ... + 1/30 - 1/31
      = 1 - 1/31 = 30/31

   3a. (4x - 16)(25 - x) = 0
   4x - 16 = 0 → x = 4
   25 - x = 0 → x = 25
   → x = 4 hoặc x = 25

   3b. x×2,5 + x×7,5 = 320
   x×(2,5 + 7,5) = 320
   10x = 320 → x = 32

   1. 3 + 7 + 11 + ... + (4x - 1) = 820
      Có x số hạng, số đầu 3, số cuối 4x - 1.
      x×[3 + (4x - 1)] : 2 = 820
      x(4x + 2) = 1640
      x(2x + 1) = 820
      20×41 = 820
      → x = 20
   2. A = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/128
      2A = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/64
      2A - A = 1 - 1/128
      → A = 127/128

tham khaotr

1+2+3+4+....+ x = 210

Vì đây là dãy số cách đều nên x là số số hạng

mà công thức tính tổng là: \(\frac{\left(x+1\right).x}{2}\) = 210

--> (x+1).x = 210 .2

(x+1).x = 420

21 . 20 = 420

Suy ra: x = 20

----------------------------------

A = 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + ...+ 1/30.31

= 1 - 1/2+ 1/2 - 1/3 + 1/3- 1/4 +....+ 1/30 - 1/31

= 1- 1/31

-------------------------

a, (4x - 16). (25-x)

TH1: 4x - 16 = 0

4x = 16

x =4

TH2: 25 -x = 0

x= 25

Vậy x = {4;25}

b, x. 2,5 + x.7,5 =320

x . (2,5+7,5) = 320

x.10= 320

x= 32

Vậy x = 32

-----------------------

3+7+11+...+(4x-1) = 820

[(4x - 1) - 3] : 4 + 1 = (4x - 4) : 4 + 1 = x - 1 + 1 = x (số hạng).
tổng của dãy số được tính theo công thức: (Số cuối +Số đầu) . Số số hạng : 2.
Theo đề bài ta có:

[(4x - 1) + 3] . x : 2 = 820

(4x + 2) . x : 2 = 820

(2x + 1) .x = 820
mà 820 = 41 .20
Vậy x = 20 hay số tự nhiên cần tìm là 20

------------------------------

A = 1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/128

2.A = ( 1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/128) .2

2A - A = (1+1/2+1/4+1/8+...+1/64) - (1/2 + 1/4 + 1/8 +...+ 1/128)

A = 1 - 1/128 = 127/128