Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{65} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \frac{1}{7^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{40} .\)

1️⃣ Chứng minh vế trái

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}}\)

Ta chỉ cần lấy một phần của tổng là đủ:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} > \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{125} + \frac{1}{216} .\)

Quy đồng:

\(\frac{1}{125} + \frac{1}{216} = \frac{216 + 125}{27000} = \frac{341}{27000} \approx 0.01263.\)

Trong khi đó:

\(\frac{1}{65} \approx 0.01538.\)

👉 À, nhìn thì chưa đủ, nên ta cộng thêm 1 số hạng nữa:

\(\frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343} \approx 0.0029.\)

Tổng:

\(0.01263 + 0.0029 = 0.01553 > 0.01538 = \frac{1}{65} .\)

✅ Suy ra:

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} .\)

2️⃣ Chứng minh vế phải

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40}\)

Ta dùng bất đẳng thức tích phân chuẩn:

Với \(x \geq 1\), hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{3}}\) giảm, nên:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x .\)

Tính tích phân:

\(\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{2 x^{2}} \left]\right.\right)_{4}^{\infty} = \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} = \frac{1}{32} .\)

Mà:

\(\frac{1}{32} < \frac{1}{40} .\)

👉 Do đó:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40} .\)

🎯 Kết luận

\(\boxed{\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} < \frac{1}{40}}\)

\[ \text{Đặt } S=\sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k^3}. \] Với mọi \(k\ge 5\), ta có \[ k(k+1)(k+2)>k^3>k(k-1)(k+1), \] nên \[ \frac{1}{k(k+1)(k+2)}<\frac{1}{k^3}<\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. \] Cộng theo \(k\) từ \(5\) đến \(2023\): \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}<S< \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. \] \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) \] \[ =\frac12\left(\frac{1}{5\cdot6}-\frac{1}{2024\cdot2025}\right) =\frac1{60}-\frac{1}{2\cdot2024\cdot2025}. \] Vì \[ \frac{1}{2\cdot2024\cdot2025}<\frac1{780}, \] suy ra \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} >\frac1{60}-\frac1{780} =\frac1{65}. \] Do đó \[ S>\frac1{65}. \] Mặt khác, \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k-1)}-\frac{1}{k(k+1)}\right) \] \[ =\frac12\left[\left(\frac14-\frac1{2023}\right)-\left(\frac15-\frac1{2024}\right)\right] =\frac12\left(\frac1{20}-\frac1{2023\cdot2024}\right) <\frac1{40}. \] Suy ra \[ S<\frac1{40}. \] Vậy \[ \boxed{\frac1{65}<\frac1{5^3}+\frac1{6^3}+\frac1{7^3}+\cdots+\frac1{2023^3}<\frac1{40}.} \]

Giải:

Số sư lớn nhất có thể là: 39 - 1 = 38

Đáp số: 38

38

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1/2 x 3/8 - 4/5

= (2 + 3+ 5) + (4+ 6 + 1) + (1/2 x 3/8 - 4/5)

= 10 + 11 + (3/16 - 4/5)

= (10 + 11) + (15/80 - 64/80)

= 21 - 49/80

= 1680/80 - 49/80

= 1631/80

1557 : 42 = 37 dư 3

1557 : 42 = 1557/42

4874 : 82 = 59 dư 36

4874 : 82 = 2437/41

B

Giải:

1m\(^2\)69dm\(^2\) = 169dm\(^2\)

13 x 13 = 169

Vậy cạnh hình vuông là 13dm

Chu vi của hình vuông là:

13 x 4 = 52(dm)

Chọn B.52dm

Giải:

Diện tích một mặt của hình lập phương là:

4,86 : 6 = 0,81(cm\(^2\) )

Vì 0,9 x 0,9 = 0,81

Nên cạnh của hình lập phương đó là: 0,9cm

Đáp số: 0,9cm

Giải:

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có:

Tuổi chị là: (15+ 3) :2 = 9(tuổi)

Tuổi em là: 15 - 9 = 6 (tuổi)

Đáp số: ...

{x + 1.2} x \(\frac12\) + 40%.\(x\) = 4.2

{\(x+2\)} x 0,5 + 0,4\(\)\(x\) = 8

0,5\(x\) + 1 + 0,4\(x\) = 8

\(x\).(0,5+ 0,4) = 8 - 1

\(x\).0,9 = 7

\(x\) = 7 : 0,9

\(x\) = \(\frac{70}{9}\)

Vậy \(x\) = \(\frac{70}{9}\)

{x + 1.2} x 1221​ + 40%.xx = 4.2

{x+2x+2} x 0,5 + 0,4xx = 8

0,5xx + 1 + 0,4xx = 8

xx.(0,5+ 0,4) = 8 - 1

xx.0,9 = 7

xx = 7 : 0,9

xx = 709970​

Vậy xx = 709970​

Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề đếm số cách sắp xếp, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

Giải:

Số có bốn chữ số có dạng: \(\overline{abcd}\)

Số cách chọn a là: 4 cách

Số cách chọn b là: 3 cách

Số cách chọn c là: 2 cách

Số cách chọn d là: 1 cách

Số các số có 4 chữ số khác nhau là:

4.3.2.1 = 24 (số)

Chọn A.24 số