Gọi 16 số nguyên liên tiếp là n, n+1, ..., n+15, trong 16 số này chắc chắn tồn tại một số lẻ không chia hết cho 3, vì trong mỗi 2 số liên tiếp có một số lẻ và trong mỗi 3 số liên tiếp có một số chia hết cho 3 nên luôn chọn được một số không chia hết cho 2 và cũng không chia hết cho 3, gọi số đó là a, khi đó mọi ước nguyên tố chung của a với bất kì số nào khác trong dãy đều phải lớn hơn hoặc bằng 5, mà hiệu giữa a và một số khác trong dãy không vượt quá 15 nên nếu có ước chung p ≥ 5 thì p phải chia hết hiệu đó, điều này chỉ có thể xảy ra khi hiệu bằng 0 hoặc bằng chính p hay bội của p không vượt quá 15, nhưng khi xét đầy đủ các trường hợp sẽ dẫn đến mâu thuẫn vì a không thể đồng thời có ước chung với tất cả 15 số còn lại, do đó luôn tồn tại một số trong 16 số nguyên liên tiếp nguyên tố cùng nhau với tất cả các số còn lại

Tác phẩm Đôi dòng tiễn đưa bà nội thể hiện chủ đề về tình cảm gia đình sâu nặng và nỗi tiếc thương da diết trước sự ra đi của người bà kính yêu. Qua những dòng viết giản dị mà chân thành, tác giả bộc lộ tình yêu thương, sự biết ơn và những kỉ niệm gắn bó với bà trong suốt những năm tháng tuổi thơ. Hình ảnh người bà hiện lên hiền hậu, tần tảo, luôn yêu thương và chở che cho con cháu, để khi bà mất đi, người cháu mới thấm thía sự mất mát lớn lao không gì bù đắp được. Tác phẩm không chỉ là lời tiễn biệt mà còn là lời nhắc nhở mỗi người hãy trân trọng những người thân yêu khi còn có thể, bởi tình cảm gia đình là giá trị thiêng liêng và bền vững nhất trong cuộc đời.

Định lý Bézout (hay Định lý Bézout về các ước chung) là một kết quả quan trọng trong đại số và lý thuyết số, liên quan đến các đa thức và số nguyên.

Định lý Bézout cho rằng:

• Với hai đa thức f(x)f(x) và g(x)g(x) trong K[x]K[x] (với KK là một trường, ví dụ như RR hay CC), nếu d=gcd⁡(f(x),g(x))d=gcd(f(x),g(x)) là ước chung lớn nhất của f(x)f(x) và g(x)g(x), thì tồn tại hai đa thức u(x)u(x) và v(x)v(x) sao cho:

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

• Nếu f(x)f(x) và g(x)g(x) là hai số nguyên, định lý này nói rằng với bất kỳ cặp số nguyên aa và bb, sẽ luôn tồn tại các số nguyên xx và yy sao cho:

ax+by=gcd⁡(a,b)ax+by=gcd(a,b)

Đây là dạng cơ bản của định lý Bézout trong lý thuyết số. Định lý này được sử dụng rộng rãi trong việc tìm ước chung lớn nhất của hai số, giải quyết các phương trình Diophantine, và trong các ứng dụng mã hóa (như RSA).

Về bản chất, định lý Bézout cho phép ta biểu diễn ước chung lớn nhất của hai đa thức hoặc số nguyên dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của chúng.

mình cần Định lý bezout về số phép chia đa thức, chứ không phải là số dư đa thức ạ.

( √x² + 5 − 2 x + 1) (√x² + 5 − 3)=0

√ x 2 + 5 = 2 x-1

√ x 2 + 5 = 3

Giải ra ta được :

x = 2

x=-2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 và x = -2.

a) Ta có ;

Góc AEB = 90° (do AE là hình chiếu của A trên BM)

Góc AHB = 90° (do AH là đường cao của tam giác ABC)

Xét tứ giác AEHB ,ta có:

Góc AEB + góc AHB = 90° + 90° = 180°

Vậy tứ giác AEHB là tứ giác nội tiếp. Hay A, E, H, B cùng nằm trên một đường tròn.

b) Xét tam giác ABE vuông tại E, ta có:

AB² = BE.BM (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² = BH.BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Suy ra :BE.BM = BH.BC

c) Xét tam giác ABM vuông tại A, ta có:

AM² = ME.MB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà M là trung điểm của AC, nên AM = MC = HM (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Vậy HM² = ME.MB

Gọi giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHB là O.

Ta có: góc EAH = góc EBH (cùng chắn cung EH)

Mà góc EAH = góc MCK (cùng phụ với góc HAC)

Nên góc EBH = góc MCK

Xét tam giác BEM và tam giác CKM ,có:

Góc EBM = góc KCM (cmt)

Góc BEM = Góc CKM = 90°

Vậy tam giác BEM đồng dạng với tam giác CKM (g.g)

Suy ra: ME/MB = MK/MC

Hay: ME.MC = MB.MK

Mà ME.MB = HM² (cmt)

Nên HM² = MB.MK

Xét tam giác BMK có: HM² = MB.MK

Vậy tam giác BMK vuông tại H.

Do đó: góc MHK = 90°

gọi x là số sản phẩm mỗi ngày làm đc theo kế hoạch (x ∈ N*)

số ngày dự định làm 600 sản phẩm là: \(\dfrac{600}{x}\left(ngày\right)\)

vì có cải tiến kĩ thuật nên năng suất mỗi ngày tăng 10 sản phẩm nên: x + 10 (sản phẩm)

cơ sở đã hoàn thành sớm 1 ngày nên: \(\dfrac{600}{x}-1\left(ngày\right)\)

theo đề ta có phương trình:

\(\left(x+10\right)\cdot\left(\dfrac{600}{x}-1\right)=700\\ \left(x+10\right)\left(600-x\right)=700x\\ 600x-x^2+6000-10x=700x\\ -x^2+590x+6000=700x\\ -x^2+590x+6000-700x=0\\ x^2+110x-6000=0\\ =>x=\left\{{}\begin{matrix}40\left(TM\right)\\-150\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)

vậy theo kế hoạch mỗi ngày phải làm 40 sản phẩm

bài 2: a) thay m = -3 vào (1) ta được:

\(x^2-2\cdot\left(-3\right)x+\left(-3\right)^2-1=0\\ x^2+6x+9-1=0\\ x^2+6x+8=0\\ =>\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

b. từ (1) theo vi-et  ta có; \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m^2-1\)

\(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2-x_1x_2-2\\ \left(2-x_2+2x_1-x_1x_2\right)+\left(2-x_1+2x_2-x_1x_2\right)=x_1^2+x_2^2-x_1x_2-2\\ 2-x_2+2x_1-x_1x_2+2-x_1+2x_2-x_1x_2=x_1^2+x_2^2-x_1x_2-2\\ 4+x_1+x_2-2x_1x_2=x_1^2+x_2^2-x_1x_2-2\\ 6+2m-2m^2=m^2+1\\ 6+2m-2m^2-m^2-1=0\\ -3m^2+2m+5=0\\ 3m^2-2x-5=0\\ =>\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{5}{3}\\m=-1\end{matrix}\right.\)

vậy m = 5/3 hoặc m = -1

a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABOC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC 

Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBCD vuông tại C

=>BC\(\perp\)CD

mà OA\(\perp\)BC

nên OA//CD

=>OA//CE

Ta có: OE\(\perp\)BD

AB\(\perp\)BD

Do đó: OE//AB

Xét ΔOBA vuông tại B và ΔDOE vuông tại O có

OB=DO

\(\widehat{BOA}=\widehat{ODE}\)(hai góc đồng vị, OA//DE)

Do đó: ΔOBA=ΔODE

=>BA=DE

mà BA=AC

nên DE=AC

Xét tứ giác OAEC có

OA//EC

OE=CA

Do đó: OAEC là hình thang cân

"Mẹ là cả bầu trời" - câu nói ấy đã đi sâu vào tiềm thức mỗi người, khẳng định vai trò to lớn của người mẹ trong cuộc đời mỗi chúng ta. Từ khi cất tiếng khóc chào đời, chúng ta đã nằm trong vòng tay mẹ, được mẹ ôm ấp, vỗ về, chở che. Nhưng rồi, khi lớn lên, chúng ta phải đối mặt với câu hỏi: Nên trưởng thành trong vòng tay mẹ hay rời vòng tay mẹ để trưởng thành? Đây là một câu hỏi không có câu trả lời đúng sai tuyệt đối, bởi lẽ mỗi người có một hoàn cảnh, một quan điểm khác nhau.

Có người cho rằng nên trưởng thành trong vòng tay mẹ, bởi lẽ:

- Tình cảm gia đình là vô giá: Vòng tay mẹ là biểu tượng của tình yêu thương, sự an toàn, là nơi ta tìm thấy bình yên sau những mệt mỏi, lo toan của cuộc sống.

- Sự chăm sóc, che chở của mẹ giúp ta vững tin hơn: Mẹ luôn là người bên cạnh, động viên, giúp đỡ ta vượt qua khó khăn, thử thách.

Trưởng thành trong vòng tay mẹ giúp ta giữ gìn những giá trị truyền thống tốt đẹp: Mẹ là người truyền lại cho ta những giá trị văn hóa, đạo đức, giúp ta hiểu rõ hơn về nguồn cội của mình. Tuy nhiên, cũng có người cho rằng nên rời vòng tay mẹ để trưởng thành, bởi lẽ:

- Rời vòng tay mẹ giúp ta tự lập hơn: Khi phải tự mình đối mặt với cuộc sống, ta sẽ học được cách tự giải quyết vấn đề, tự chịu trách nhiệm về hành động của mình.

- Rời vòng tay mẹ giúp ta khám phá thế giới: Khi bước ra khỏi vòng tay mẹ, ta sẽ có cơ hội tiếp xúc với những điều mới mẻ, khám phá những điều thú vị, từ đó mở rộng kiến thức và tầm nhìn của mình.

- Rời vòng tay mẹ giúp ta trưởng thành hơn: Những khó khăn, thử thách trong cuộc sống sẽ giúp ta rèn luyện bản lĩnh, ý chí, từ đó trở nên mạnh mẽ và trưởng thành hơn.

Vậy, nên trưởng thành trong vòng tay mẹ hay rời vòng tay mẹ để trưởng thành? Câu trả lời là cả hai.

Trưởng thành là một quá trình: Đó là quá trình chúng ta vừa học cách tự lập, vừa giữ gìn những giá trị tốt đẹp của gia đình. Vòng tay mẹ là điểm tựa vững chắc: Dù đi đâu, về đâu, mẹ vẫn luôn là người yêu thương, ủng hộ ta vô điều kiện. Rời vòng tay mẹ là để khám phá bản thân: Đó là cách ta học cách tự lập, tự tin đối mặt với cuộc sống.

Mỗi người có một cách trưởng thành khác nhau. Điều quan trọng là chúng ta phải biết cân bằng giữa việc tự lập và giữ gìn tình cảm gia đình. Hãy luôn trân trọng những giây phút ở bên mẹ, hãy biết ơn những gì mẹ đã làm cho ta. Đồng thời, hãy dũng cảm bước ra khỏi vòng tay mẹ để khám phá thế giới, để trưởng thành và hoàn thiện bản thân mình.