Câu 1. Gọi a là bờ sông gần khu dân cư B, cần tìm điểm C thuộc a sao cho AC + CB ngắn nhất

Cách làm, lấy điểm B' là điểm đối xứng của B qua bờ sông a, nối A với B', đường thẳng AB' cắt bờ sông a tại C thì C là điểm cần tìm

Giải thích, vì với mọi điểm C thuộc a thì CB = CB' nên AC + CB = AC + CB', khi đó tổng này nhỏ nhất khi A, C, B' thẳng hàng, tức là đường gấp khúc ACB ngắn nhất khi đổi thành đoạn thẳng AB', vì vậy chọn C là giao điểm của AB' với bờ sông a.

a+1 là bội của a-1

=>\(a+1⋮a-1\)

=>\(a-1+2⋮a-1\)

=>\(2⋮a-1\)

=>\(a-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(a\in\left\{2;0;3;-1\right\}\)

mà a là số tự nhiên

nên \(a\in\left\{2;0;3\right\}\)

Q là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số và chia hết cho 3

=>Q={102;105;...;999}

Số phần tử của Q là:

\(\dfrac{999-102}{3}+1=\dfrac{897}{3}+1=299+1=300\)(phần tử)

Ta có: \(\left(x-2020\right)^{x+1}-\left(x-2020\right)^{x+11}=0\)

=>\(\left(x-2020\right)^{x+11}-\left(x-2020\right)^{x+1}=0\)

=>\(\left(x-2020\right)^{x+1}\left[\left(x-2020\right)^{10}-1\right]=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2020=0\\\left(x-2020\right)^{10}=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2020=0\\x-2020=-1\\x-2020=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=2020\\x=2019\\x=2021\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=2^2+2^3+...+2^{2021}\)

=>\(2A=2^3+2^4+...+2^{2022}\)

=>\(2A-A=2^3+2^4+...+2^{2022}-2^2-2^3-...-2^{2021}\)

=>\(A=2^{2022}-4\)

\(\left(x-2\right)^6=4+2^2+2^3+...+2^{2021}\)

=>\(\left(x-2\right)^6=4+2^{2022}-4=2^{2022}\)

=>\(\left(x-2\right)^6=\left(2^{337}\right)^6\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-2=2^{337}\\x-2=-2^{337}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2+2^{337}\\x=-2^{337}+2\end{matrix}\right.\)

b: B=|x+1|+|3x-4|+|2x-1|+5

=|x+1|+|2x-1|+|3x-4|+5

TH1: x<-1

=>x+1<0; 2x-1<0; 3x-4<0

=>B=-x-1+1-2x+4-3x+5=-6x+9

Vì hàm số B=-6x+9 là hàm số nghịch biến trên R

nên B nhỏ nhất khi x lớn nhất

mà khi x<-1 thì x sẽ không có giá trị lớn nhất

nên B không có giá trị nhỏ nhất

TH2: -1<=x<1/2

=>x+1>=0; 2x-1<0; 3x-4<0

=>B=x+1+1-2x+4-3x+5=-4x+11

Vì hàm số B=-4x+11 là hàm số nghịch biến trên R

nên B nhỏ nhất khi x lớn nhất

mà khi -1<=x<1/2 thì x sẽ không có giá trị lớn nhất

nên B không có GTNN

TH3: 1/2<=x<4/3

=>x+1>0; 2x-1>=0; 3x-4<0

=>B=x+1+2x-1-3x+4+5=9

TH4: x>=4/3

=>x+1>0; 2x-1>0; 3x-4>=0

=>B=x+1+2x-1+3x-4+5=6x+1

Vì hàm số B=6x+1 là hàm số đồng biến trên R

nên B có giá trị nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=4/3 thì \(x_{\min}=\frac43\)

=>\(B=6\cdot\frac43+1=8+1=9\)

Vậy: \(B_{\min}=9\) khi \(\frac12\le x\le\frac43\)

b: TH1: x<-5

=>x+5<0

=>C=-x-5+2-x=-2x-3

Vì C=-2x-3 là hàm số nghịch biến trên R

nên C nhỏ nhất khi x lớn nhất

mà x<-5 thì x sẽ không có giá trị lớn nhất

nên C không có giá trị nhỏ nhất

TH2: x>=-5

=>x+5>=0

=>C=x+5+2-x=7

Vậy: \(C_{\min}=7\) khi x>=-5

0,24+0,1

0,25:0,1

   Giải:

0,25 = \(\dfrac{1}{4}\)

Ta có sơ đồ:

Theo sơ đồ ta có
:Số lớn: 0,25 : (1 + 4) x  4 = 0,2

Số bé là: 0,25 - 0,2 = 0,05

Đáp số: Số lớn là: 0,2; Số bé là: 0,05

Ta có: \(3^x+3^{x+1}=108\)

=>\(3^x+3^x\cdot3=108\)

=>\(4\cdot3^x=108\)

=>\(3^x=\dfrac{108}{4}=27=3^3\)

=>x=3

`[(4x-12) : 4] xx 4^3 = 4^4`

`=>(4x -12) : 4 = 4^4 : 4^3`

`=> (4x -12) :4 = 4`

`=> (4x -12) =4xx4`

`=> 4x -12 = 16`

`=> 4x = 16 +12`

`=> 4x = 28`

`=> x = 7`

Vạy `x = 7`

[(4x-12):4] = 4⁴:4³

(4x-12):4 = 4

4x-12 = 4.4

4x-12 = 16

4x = 16+12

4x = 28

x=28:4

x=7

635 7 90 05

90,71