Bài 1. Cho ΔABC nhọn, nội tiếp (O; R). 2 đường cao BE và CF lần lượt cắt đường tròn tại M và N, cắt nhau tại H.
a. C/m 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc 1 đường tròn.
b. C/m MN // EF.
c. C/m OA vuông góc EF.
d. Kẻ đường kính AK, gọi I là trung điểm BC. C/m H, I, K thẳng hàng và AH = 2OI.
e. C/m M đối xứng với H qua AC.
f. C/m AC2 + BH2 = 4R2.
Bài 2. Cho 1 điểm A bất kì trên đường tròn đường kính BC....
Đọc tiếp
Bài 1. Cho ΔABC nhọn, nội tiếp (O; R). 2 đường cao BE và CF lần lượt cắt đường tròn tại M và N, cắt nhau tại H.
a. C/m 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc 1 đường tròn.
b. C/m MN // EF.
c. C/m OA vuông góc EF.
d. Kẻ đường kính AK, gọi I là trung điểm BC. C/m H, I, K thẳng hàng và AH = 2OI.
e. C/m M đối xứng với H qua AC.
f. C/m AC2 + BH2 = 4R2.
Bài 2. Cho 1 điểm A bất kì trên đường tròn đường kính BC. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt đường tròn tại E. Trên đường kéo dài của CE lấy EG = EC.
a. ΔEBC là tam giác gì? Vì sao?
b. Chứng minh GB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
c. C/m AD . DE = BD . DC
Bài 1:
a: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC
=>B,F,E,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
\(\widehat{CNM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM
Do đó: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\)
mà \(\widehat{CBM}=\widehat{HFE}\)(BFEC nội tiếp)
nên \(\widehat{HFE}=\widehat{HNM}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên FE//MN
c: Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEF}\left(=180^0-\widehat{FEC}\right)\)
nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên EF//Ax
mà Ax\(\perp\)OA
nên OA\(\perp\)EF
d: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔABK vuông tại B
=>BA\(\perp\)BK
mà CH\(\perp\)BA
nên CH//BK
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
Do đó: ΔACK vuông tại C
=>CA\(\perp\)CK
mà BH\(\perp\)AC
nên BH//CK
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
Do đó: BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
mà I là trung điểm của BC
nên I là trung điểm của HK
=>H,I,K thẳng hàng
Xét ΔKAH có
I,O lần lượt là trung điểm của KH,KA
=>IO là đường trung bình của ΔKAH
=>AH=2IO
e: Xét (O) có
\(\widehat{MCA};\widehat{MBA}\) là góc nội tiếp chắn cung MA
Do đó: \(\widehat{MCA}=\widehat{MBA}\)
mà \(\widehat{MBA}=\widehat{ACN}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)
nên \(\widehat{MCA}=\widehat{NCA}\)
=>CA là phân giác của góc CMN
Xét ΔCHM có
CA là đường cao
CA là đường phân giác
Do đó: ΔCHM cân tại C
ΔCHM cân tại C
mà CA là đường cao
nên CA là đường trung trực của HM
=>H đối xứng M qua AC
Bài 2:
a: Xét (O) có
\(\widehat{BAE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
\(\widehat{CAE}\) là góc nội tiếp chắn cung CE
\(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)(AE là phân giác của góc BAC)
Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BE}=sđ\stackrel\frown{CE}\)
=>EB=EC
=>ΔEBC cân tại E
b: EG=EC
=>E là trung điểm của GC
Xét ΔGBC có
BE là đường trung tuyến
\(BE=\dfrac{GC}{2}\)
Do đó: ΔGBC vuông tại B
=>GB\(\perp\)BC tại B
=>GB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC
c: Xét (O) có
\(\widehat{BAE};\widehat{BCE}\) là các nội tiếp cùng chắn cung BE
Do đó: \(\widehat{BAE}=\widehat{BCE}\)
Xét ΔDAB và ΔDCE có
\(\widehat{DAB}=\widehat{DCE}\)
\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDAB~ΔDCE
=>\(\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{DB}{DE}\)
=>\(DA\cdot DE=DB\cdot DC\)