a: \(x^2-3x+1>2\left(x-1\right)-x\left(3-x\right)\)

=>\(x^2-3x+1>2x-2-3x+x^2\)

=>-3x+1>-x-2

=>-2x>-3

=>\(x< \dfrac{3}{2}\)

b: \(\left(x-1\right)^2+x^2< =\left(x+1\right)^2+\left(x+2\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+x^2< =x^2+2x+1+x^2+4x+4\)

=>-2x+1<=6x+5

=>-7x<=4

=>\(x>=-\dfrac{4}{7}\)

c: 

\(\left(x^2+1\right)\left(x-6\right)< =\left(x-2\right)^3\)

=>\(x^3-6x^2+x-6< =x^3-6x^2+12x-8\)

=>x-6<=12x-8

=>-11x<=-8+6=-2

=>\(x>=\dfrac{2}{11}\)

Vì \(\dfrac{1}{3}\ne\dfrac{2}{2}\)

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=7\\3x+2y=2m+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y-x-2y=2m+1-7\\x+2y=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=2m-6\\2y=7-x\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=m-3\\2y=7-m+3=-m+10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-3\\y=-0,5m+5\end{matrix}\right.\)

x+2=y

=>-0,5m+5=m-3+2=m-1

=>-1,5m=-6

=>m=4

a: \(\dfrac{3x+5}{2}-x>=1+\dfrac{x+2}{3}\)

=>\(\dfrac{3x+5-2x}{2}>=\dfrac{3+x+2}{3}\)

=>\(\dfrac{x+5}{2}-\dfrac{x+5}{3}>=0\)

=>\(\dfrac{3\left(x+5\right)-2\left(x+5\right)}{6}>=0\)

=>\(\dfrac{x+5}{6}>=0\)

=>x+5>=0

=>x>=-5

b: \(\dfrac{x-2}{3}-x-2< =\dfrac{x-17}{2}\)

=>\(\dfrac{2\left(x-2\right)}{6}+\dfrac{6\left(-x-2\right)}{6}< =\dfrac{3\left(x-17\right)}{6}\)

=>\(2\left(x-2\right)+6\left(-x-2\right)< =3\left(x-17\right)\)

=>\(2x-4-6x-12< =3x-51\)

=>-4x-16<=3x-51

=>-7x<=-35

=>x>=5

c: \(\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-4}{4}< =\dfrac{3x+1}{6}-\dfrac{x-4}{12}\)

=>\(\dfrac{4\left(2x+1\right)-3\left(x-4\right)}{12}< =\dfrac{2\left(3x+1\right)-x+4}{12}\)

=>4(2x+1)-3(x-4)<=2(3x+1)-x+4

=>8x+4-3x+12<=6x+2-x+4

=>5x+16<=5x+6

=>16<=6(sai)

Vậy: BPT vô nghiệm

a: \(\dfrac{3\left(2x+1\right)}{20}+1>\dfrac{3x+52}{10}\)

=>\(\dfrac{6x+3}{20}+\dfrac{20}{20}>\dfrac{6x+104}{20}\)

=>6x+23>6x+104

=>23>104(sai)

vậy: \(x\in\varnothing\)

b: \(\dfrac{4x-1}{2}+\dfrac{6x-19}{6}< =\dfrac{9x-11}{3}\)

=>\(\dfrac{3\left(4x-1\right)+6x-19}{6}< =\dfrac{2\left(9x-11\right)}{6}\)

=>12x-3+6x-19<=18x-22

=>-22<=-22(luôn đúng)

Vậy: \(x\in R\)

0

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=12^2-5^2=144-25=119\)

=>\(AC=\sqrt{119}\left(cm\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{5^2}{12}=\dfrac{25}{12}\left(cm\right)\\CH=\dfrac{119}{12}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=\dfrac{25}{12}\cdot\dfrac{119}{12}=\dfrac{25}{144}\cdot119\)

=>\(AH=\sqrt{119}\cdot\sqrt{\dfrac{25}{144}}=\dfrac{5}{12}\cdot\sqrt{119}\left(cm\right)\)

2n+1 là số chính phương

mà 2n+1 lẻ

nên \(2n+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\)

Vì k;k+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên k(k+1)⋮2

=>4k(k+1)⋮8

=>4k(k+1)+1 chia 8 dư 1

=>2n+1 chia 8 dư 1

=>2n⋮8

=>n⋮4

=>n+1 là số lẻ

mà n+1 là số chính phương

nên \(n+1=\left(2a+1\right)^2=4a^2+4a+1=4a\left(a+1\right)+1\)

Vì a;a+1 là hai số tự nhiên liên tiếp

nên a(a+1)⋮2

=>4a(a+1)⋮8

=>4a(a+1)+1 chia 8 dư 1

=>n+1 chia 8 dư 1

=>n⋮8

Vì 2n+1+n+1=3n+2 chia 3 dư 2

mà 2n+1 là số chính phương

nên 2n+1 chia 3 dư 1

=>n+1 chia 3 dư 1

=>n⋮3

mà n⋮8

mà ƯCLN(3;8)=1

nên n⋮ 3*8

=>n⋮24

93

Gọi số cần tìm có dạng là \(\overline{ab}\)

Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 6 đơn vị nên a-b=6

Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì tổng của số mới và số cũ là 132 nên \(\overline{ab}+\overline{ba}=132\)

=>10a+b+10b+a=132

=>11a+11b=132

=>a+b=12

mà a-b=6

nên \(a=\dfrac{12+6}{2}=9;b=12-9=3\)

Vậy: Số cần tìm là 93

4.

a. 

Áp dụng đẳng thức: \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+cos^2\alpha=1\)

\(\Rightarrow cos^2\alpha=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) (do \(\alpha\) nhọn nên \(cos\alpha>0\))

\(tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{1}{3}:\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

b.

\(P=sin^21^0+sin^289^0+sin^22^0+sin^288^0+...+sin^244^0+sin^246^0+sin^245^0+sin^290^0\)

\(=sin^21^0+sin^2\left(90^0-1^0\right)+sin^22^0+sin^2\left(90^0-2^0\right)+...+sin^244^0+sin^2\left(90^0-44^0\right)+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+1^2\)

\(=sin^21^0+cos^21^0+sin^22^0+cos^22^0+...+sin^244^0+cos^244^0+\dfrac{3}{2}\)

\(=1+1+...+1+\dfrac{3}{2}\) (có 44 số 1)

\(=44+\dfrac{3}{2}=\dfrac{91}{2}\)

c.

\(\dfrac{1-tan\alpha}{1+tan\alpha}=\dfrac{1-\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}}{1+\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\dfrac{\dfrac{cos\alpha-sin\alpha}{cos\alpha}}{\dfrac{cos\alpha+sin\alpha}{cos\alpha}}=\dfrac{cos\alpha-sin\alpha}{cos\alpha+sin\alpha}\)