Sửa đề: Kẻ đường kính CD vuông góc với AB tại M

a: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó; ΔCED vuông tại E

=>EC⊥ ED tại E

Xét tứ giác EHMD có \(\hat{HED}+\hat{HMD}=90^0+90^0=180^0\)

nên EHMD là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔCMH vuông tại M và ΔCED vuông tại E có

\(\hat{MCH}\) chung

Do đó: ΔCMH~ΔCED

=>\(\frac{CM}{CE}=\frac{CH}{CD}\)

=>\(CM\cdot CD=CH\cdot CE\) (1)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại A

Xét ΔACD vuông tại A có AM là đường cao

nên \(CM\cdot CD=CA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(CH\cdot CE=CA^2\)

a) \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(-3m+10\right)=m^2-m-6\)

Để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-2\\m\ge3\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4-2m\\x_1x_2=-3m+10\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ đều nhỏ hơn 2 \(\left(x_1\le x_2< 2\right)\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-2\right)+\left(x_2-2\right)< 0\\\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2< 4\\x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-2m< 4\\-3m+10-2\left(4-2m\right)+4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2m< 0\\m+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m>-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>0\)

Kết hợp với điều kiện (1), ta được: \(m\ge3\)

\(Toru\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\Delta=\left(-2m+2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-3m\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+12m=4m+4\)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4m+4>0

=>4m>-4

=>m>-1

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2-3m\end{cases}\)

\(\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{2\left(m-1\right)}{m^2-3m}\)

\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=4\)

=>\(\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)^2-2\cdot\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=4\)

=>\(\left(\frac{2m-2}{m^2-3m}\right)^2-\frac{2}{x_1x_2}=4\)

=>\(\frac{\left(2m-2\right)^2}{\left(m^2-3m\right)^2}-\frac{2}{m^2-3m}=4\)

=>\(\frac{\left(2m-2\right)^2}{\left(m^2-3m\right)^2}-\frac{2\left(m^2-3m\right)}{\left(m^2-3m\right)^2}=\frac{4\left(m^2-3m\right)^2}{\left(m^2-3m\right)^2}\)

=>\(\frac{4m^2-8m+4-2m^2+6m}{\left(m^2-3m\right)^2}=\frac{4\left(m^2-3m\right)^2}{\left(m^2-3m\right)^2}\)

=>\(4\left(m^2-3m\right)^2=2m^2-2m+4\)

=>\(2\left(m^2-3m\right)^2=m^2-m+2\)

=>\(2\left(m^4-6m^3+9m^2\right)-m^2+m-2=0\)

=>\(2m^4-12m^3+18m^2-m^2+m-2=0\)

=>\(2m^4-12m^3+17m^2+m-2=0\)

=>m≃0,165(nhận) hoặc m≃-0,151(nhận)

x² -(2m+1)x+2m=0 (a=1; b = -(2m+1); c= 2m)
Δ= b²- 4ac= [-(2m+1)]²-4.1.2m= 4m² +4m+1-8m =4m²-4m+1

= (2m-1)²

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi (2m-1)²>0

<=> 2m-1 >0 <=> m > 1/2

Vậy: với m>1/2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vì với m>1/2 thì phương trình có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x₁+x₂= -b/a= 2m+1
x₁.x₂= c/a = 2m
Ta có: 

a: Xét tứ giác AHKM có \(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^0\)

nên AHKM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔMAN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔMAN vuông tại A

Xét (O) có

\(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\)

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔANM vuông tại A có

\(\widehat{HBA}=\widehat{ANM}\)

Do đó: ΔHBA~ΔANM

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔKMA vuông tại K có

\(\widehat{HAB}=\widehat{KMA}\)(ΔHBA~ΔANM)

Do đó: ΔHAB~ΔKMA

=>\(\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{HB}{AK}\)

=>\(AH\cdot AK=MK\cdot HB\)