a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\widehat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

=>\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

Xét ΔADE và ΔABC có

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\)

\(\widehat{DAE}\) chung

Do đó: ΔADE~ΔABC

b: Xét ΔHEB vuông tại E và ΔHDC vuông tại D có

\(\widehat{EHB}=\widehat{DHC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEB~ΔHDC
=>\(\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\)

=>\(HE\cdot HC=HB\cdot HD\)

c: Ta có: BH\(\perp\)AC tại D

CK\(\perp\)AC

Do đó: BH//CK

ta có:CH\(\perp\)AB

BK\(\perp\)AB

Do đó: CH//BK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của BC

nên M là trung điểm của HK

=>H,M,K thẳng hàng

ΔAED~ΔACB

=>\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

d: Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại O

Xét ΔBEC vuông tại Evà ΔBOA vuông tại O có

\(\widehat{EBC}\) chung

Do đó:ΔBEC~ΔBOA

=>\(\dfrac{BE}{BO}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BE\cdot BA=BO\cdot BC\)

Xét ΔCDB vuông tại D và ΔCOA vuông tại O có

\(\widehat{DCB}\) chung

DO đó: ΔCDB~ΔCOA

=>\(\dfrac{CD}{CO}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(CD\cdot CA=CO\cdot CB\)

\(BE\cdot BA+CD\cdot CA\)

\(=BO\cdot BC+CO\cdot BC\)

\(=BC\left(BO+CO\right)=BC^2\)

Phần e,f,g đou ạ

Xét hai tam giác CIB và AFC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CIB}=\widehat{AFC}=90^0\\\widehat{BCI}=\widehat{CAF}\left(\text{so le trong}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\Delta CIB\sim\Delta AFC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{CI}{AF}=\dfrac{BC}{CA}\Rightarrow AF.BC=CI.CA\)

TĐB, ta có: (chép lại đề bài)

=> 3x = x + 5 + 1

=> 3x = x + 6

=> 3x - x = 6

=> x(3-1) = 6

=> 2x = 6

=> x = 6 : 2

=> x = 3

Vậy x = 3

\(\Leftrightarrow\left(x^2+xy\right)-\left(x+y\right)-\left(2xy^2-2y^2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y\right)-\left(x+y\right)-2y^2\left(x-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+y\right)-2y^2\left(x-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+y-2y^2\right)=1=1.1=\left(-1\right).\left(-1\right)\)

Th1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=1\\x+y-2y^2=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2+y-2y^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2y^2-y-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Th2: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=-1\\x+y-2y^2=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\0+y-2y^2=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\2y^2-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=-\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có 2 cặp nghiệm nguyên \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right);\left(0;1\right)\)

Phân thức này không rút gọn được nữa nha bạn

Gọi tuổi của người thứ hai cách đây 10 năm là x (x>0)

Tuổi của người thứ nhất cách đây 10 năm là: \(3x\)

Tuổi của người thứ nhất sau đây 2 năm là: \(3x+12\) 

Tuổi của người thứ hai sau đây 2 năm là: \(x+12\)

Do sau đây 1 năm tuổi người thứu hai bằng 1 nửa tuổi người thứ nhất nên ta có pt:

\(x+12=\dfrac{1}{2}\left(3x+12\right)\)

\(\Leftrightarrow2x+24=3x+12\)

\(\Leftrightarrow x=12\)

Vậy tuổi của người thứ nhất hiện nay là \(3x+10=46\) tuổi, tuổi của người thứ hai hiện nay là \(x+10=22\) tuổi

6:

\(2x^2+3xy-2y^2=7\)

=>\(2x^2+4xy-xy-2y^2=7\)

=>\(2x\left(x+2y\right)-y\left(x+2y\right)=7\)

=>(x+2y)(2x-y)=7

=>\(\left(x+2y;2x-y\right)\in\left\{\left(1;7\right);\left(7;1\right);\left(-1;-7\right);\left(-7;-1\right)\right\}\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=2\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5y=-5\\x+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1-2y=1-2\cdot\left(-1\right)=3\end{matrix}\right.\)

=>Nhận

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=7\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=7\\4x-2y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5x=9\\2x-y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1,8\\y=2x-1=2\cdot1,8-1=2,6\end{matrix}\right.\)

=>Loại

TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-1\\2x-y=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=-2\\2x-y=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5y=-2+7=5\\2x-y=-7\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\2x=-7+y=-7+1=-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=1\end{matrix}\right.\)

=>Nhận

TH4: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-7\\2x-y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=-7\\4x-2y=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x=-9\\2x-y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1,8\\y=2x+1=2\cdot\left(-1,8\right)+1=-2,6\end{matrix}\right.\)

=>Loại

Tham khảo: 

Bài thơ "Tiếng hát mùa gặt" của Nguyễn Duy là một tác phẩm nghệ thuật đặc sắc với nội dung sâu sắc và tinh tế. Dưới đây là phân tích và đánh giá nội dung nghệ thuật của bài thơ này.
Bài thơ "Tiếng hát mùa gặt" được chia thành 4 phần, mỗi phần tả lại một khung cảnh khác nhau nhưng đều xoay quanh chủ đề mùa gặt và cuộc sống nông thôn. Từng phần được xây dựng một cách tỉ mỉ và tạo nên một hình ảnh sống động trong tâm trí người đọc.
Phần đầu tiên của bài thơ tả cảnh một ngôi làng nông thôn vào mùa gặt. Nguyễn Duy sử dụng những hình ảnh mô tả chi tiết như "cánh đồng mênh mông", "bông lúa vàng rực", "ngôi làng nhỏ bé" để tạo nên một bức tranh sinh động về cuộc sống nông thôn. Bên cạnh đó, ông cũng sử dụng những từ ngữ như "sắc màu", "hương thơm" để tạo nên một không gian thơ mộng và tươi vui.
Phần thứ hai của bài thơ tả lại hình ảnh của những người nông dân đang làm việc trong cánh đồng. Nguyễn Duy sử dụng những từ ngữ như "đồng ruộng", "cánh đồng", "người nông dân" để tạo nên một bức tranh về sự lao động và khổ hạnh của người dân nông thôn. Ông cũng sử dụng những hình ảnh mô tả chi tiết như "bàn tay gầy guộc", "mồ hôi nhễ nhại" để tạo nên một cảm giác sống động và chân thực.
Phần thứ ba của bài thơ tả lại tiếng hát của người nông dân trong lúc làm việc. Nguyễn Duy sử dụng những từ ngữ như "tiếng hát", "tiếng cười", "tiếng hò reo" để tạo nên một không gian vui tươi và hân hoan. Ông cũng sử dụng những hình ảnh mô tả chi tiết như "tiếng hát vang lên từng ngõ ngách", "tiếng hò reo vang lên từng cánh đồng" để tạo nên một cảm giác sống động và phấn khích.
Phần cuối cùng của bài thơ tả lại hình ảnh của một cô gái đang hát trong cánh đồng. Nguyễn Duy sử dụng những từ ngữ như "cô gái", "tiếng hát", "màu áo trắng" để tạo nên một bức tranh tươi sáng và đẹp đẽ. Ông cũng sử dụng những hình ảnh mô tả chi tiết như "tiếng hát bay lên như chim trời", "màu áo trắng như cánh diều" để tạo nên một cảm giác mộng mơ và lãng mạn.
Tổng thể, bài thơ "Tiếng hát mùa gặt" của Nguyễn Duy là một tác phẩm nghệ thuật đặc sắc với nội dung sâu sắc và tinh tế. Từng phần của bài thơ được xây dựng một cách tỉ mỉ và tạo nên những hình ảnh sống động trong tâm trí người đọc. Nguyễn Duy sử dụng những từ ngữ và hình ảnh mô tả chi tiết để tạo nên một không gian thơ mộng và tươi vui. Bài thơ mang đến cho người đọc một trải nghiệm tuyệt vời về cuộc sống nông thôn và giá trị của lao động nông dân.