Lời giải:

Để 2 vecto cùng phương thì:

$\frac{m^2+m+2}{m}=\frac{4}{2}=2$ ($m\neq 0$)

$\Leftrightarrow m^2+m+2=2m$

$\Leftrightarrow m^2-m+2=0$

$\Leftrightarrow (m-0,5)^2=\frac{-7}{4}<0$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn yêu cầu.

a.

Gọi \(D\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-5;-1\right)\\\overrightarrow{DC}=\left(3-x;-2-y\right)\end{matrix}\right.\)

Do ABCD là hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-x=-5\\-2-y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=8\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(8;-1\right)\)

Gọi O là tâm hình bình hành \(\Rightarrow\) O là trung điểm AC

Theo công thúc trung điểm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_O=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{7}{2}\\y_O=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow O\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

b.

Theo công thức trọng tâm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=2\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow G\left(2;1\right)\)

I đối xứng B qua G \(\Rightarrow G\)  là trung điểm IB

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=2x_G-x_B=5\\y_I=2y_G-y_B=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(5;0\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_A+x_D+x_C}{3}=5=x_I\\\dfrac{y_A+y_D+y_C}{3}=0=y_I\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\) là trọng tâm ADC

c.

Ta có: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.d\left(C;AB\right)\)

\(S_{ABM}=\dfrac{1}{2}AB.d\left(M;AB\right)\)

\(S_{ABC}=3S_{ABM}\Rightarrow d\left(C;AB\right)=3d\left(M;AB\right)\)

\(\Rightarrow BM=\dfrac{1}{3}BC\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BM}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\end{matrix}\right.\)

Gọi \(M\left(x;y\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(x+1;y-2\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x+1;y-2\right)=\dfrac{1}{3}\left(4;-4\right)\\\left(x+1;y-2\right)=-\dfrac{1}{3}\left(4;-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\\\left(x;y\right)=\left(-\dfrac{7}{3};\dfrac{10}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

Do D nằm trên trục hoành nên tọa độ có dạng \(D\left(x;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(2;-2\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(x-5;-5\right)\end{matrix}\right.\)

Do BC, AD là 2 đáy hình thang \(\Rightarrow BC||AD\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AD}\) cùng phương \(\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x-5}{2}=\dfrac{-5}{-2}\)

\(\Rightarrow x-5=5\Rightarrow x=10\)

\(\Rightarrow D\left(10;0\right)\)

a.

\(A\left(2;-3\right)\)

Do I là trung điểm AC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=2x_I-x_A=0\\y_C=2y_I-y_A=5\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow C\left(0;5\right)\)

\(\overrightarrow{AK}=\left(-3;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận \(\left(5;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(5\left(x+1\right)+3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow5x+3y-1=0\)

Do điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ, gọi tọa độ D có dạng \(D\left(2d;d\right)\)

 I là tâm hình bình hành nên I là trung điểm BD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_I-x_D=2-2d\\y_B=2y_I-y_D=2-d\end{matrix}\right.\)

B thuộc đường thẳng AB nên thay tọa độ B vào pt AB ta được:

\(5\left(2-2d\right)+3\left(2-d\right)-1=0\)

\(\Rightarrow d=\dfrac{15}{13}\Rightarrow D\left(\dfrac{30}{13};\dfrac{15}{13}\right)\)

\(\Rightarrow B\left(-\dfrac{4}{13};\dfrac{11}{13}\right)\)

b.

Gọi A' là điểm đối xứng A qua Oy \(\Rightarrow A'\left(-2;-3\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{A'D}=\left(\dfrac{56}{13};\dfrac{54}{13}\right)=\dfrac{2}{13}\left(28;27\right)\)

Đường thẳng A'D nhận \(\left(27;-28\right)\) là 1 vtpt

Phương trình A'D:

\(27\left(x+2\right)-28\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow27x-28y-30=0\)

Gọi M' là giao điểm của A'D với Oy 

\(\Rightarrow M'\left(0;-\dfrac{15}{14}\right)\)

Do A' đối xứng A qua Oy nên: \(MA=MA'\)

\(\Rightarrow MA+MD=MA'+MD\ge A'D\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M, A', D thẳng hàng

Hay M là giao điểm của A'D và Oy

\(\Rightarrow M\) trùng M'

\(\Rightarrow M\left(0;-\dfrac{15}{14}\right)\)

- Vào thế kỉ XVII, chúa Nguyễn cho lập Đội Hoàng Sa đến khai thác sản vật, thực thi chủ quyền tại quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa. 
- Đầu thế kỉ XVIII, chúa Nguyễn Phúc Chu cho lập Đội Bắc Hải (dưới sự kiêm quản của Đội Hoàng Sa). Đội Bắc Hải có nhiệm vụ khai thác sản vật, kiểm tra, kiểm soát, thực thi chủ quyền của Việt Nam ở khu vực Bắc Hải, đảo Côn Lôn và các đảo ở Hà Tiên. 
=> Các chúa Nguyễn là những người đầu tiên xác lập chủ quyền Việt Nam ở hai quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa. 

- Vào thế kỉ XVII, chúa Nguyễn cho lập Đội Hoàng Sa đến khai thác sản vật, thực thi chủ quyền tại quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa. 
- Đầu thế kỉ XVIII, chúa Nguyễn Phúc Chu cho lập Đội Bắc Hải (dưới sự kiêm quản của Đội Hoàng Sa). Đội Bắc Hải có nhiệm vụ khai thác sản vật, kiểm tra, kiểm soát, thực thi chủ quyền của Việt Nam ở khu vực Bắc Hải, đảo Côn Lôn và các đảo ở Hà Tiên. 
=> Các chúa Nguyễn là những người đầu tiên xác lập chủ quyền Việt Nam ở hai quần đảo Hoàng Sa và Trường Sa. 

Bài đâu bạn?