Chọn 2 thẻ từ bộ 9 thẻ thì có $C^2_9=36$ cách (đây chính là không gian mẫu)

Gọi pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Do (E) đi qua \(\left(2;2\sqrt{6}\right)\) nên \(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\). Đồng thời (E) đi qua \(N\left(4;-\sqrt{15}\right)\) nên \(\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\). Ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\\\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\end{matrix}\right.\) . (I)

Đặt \(\dfrac{1}{a^2}=u\) và \(\dfrac{1}{b^2}=v\) \(\left(u,v>0\right)\). Khi đó hệ (I) trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}4u+24v=1\\16u+15v=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{36}\\v=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) (nhận) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{36}\\\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) 

Vậy pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1\)

 Khi đó \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-27}=3\) nên tọa độ các tiêu điểm của *(E) là \(F_1\left(-3;0\right);F_2\left(3;0\right)\) . Tâm sai của (E) là \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)

Gọi M(x,y) 

Trong (E) có : \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)

Từ đó ta có : \(F_1\left(\sqrt{5};0\right);F_2\left(-\sqrt{5};0\right)\); \(F_1F_2=2\sqrt{5}\) 

=> \(\overrightarrow{F_1M}\left(x-\sqrt{5};y\right)\Rightarrow F_1M^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

tương tự \(F_2M^2=\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

Do \(\widehat{F_1MF_2}=90^{\text{o}}\) nên tam giác F₁MF₂ vuông tại M

=> F₁M² + F₂M² = F₁F₂²

<=>  \(\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2+\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2=20\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=5\)

Lại có \(M\in\left(E\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

từ đó ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9}{5}\\y^2=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\\y=\pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.\)

Có 4 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

M€{(3√5/5;4√5/5),(3√5/5;-4√5/5),(-3√5/5;4√5/5),(-3√5/5;-4√5/5)

Theo đề ra ta có hệ : 

 \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}=1\\\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{\dfrac{3}{4}}{b^2}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\\dfrac{\dfrac{3}{4}}{b^2}=\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)

Vậy (a,b) = (2,1) 

Giá trị cần tìm là:

a=2

b=1

Phương trình chính tắc của elip là:

(E):x^2/4+y^2/1=1(hay x^2/4+y^2=1)

Có \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{11}\)

Tiêu điểm \(F_1\left(\sqrt{11},0\right);F_2\left(-\sqrt{11},0\right)\)

Tiêu cự \(F_1F_2=2\sqrt{11}\)

Trục lớn : 2a = 12

Trục bé 2b = 10

Tâm sai \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}\)

36

Phương trình đường tròn (C):x^2+y^2=8

Phương trình elip(E):x^2/16+y^2/8=1

a)Phương trình đường tròn (C):
x^2 + y^2 = 8.

b)Phương trình chính tắc của elip (E):
x^2/16 + y^2/8 = 1.

Phương trình chính tắc của (E) là:

x^2/8+y^2/4=1

–Phương trình elip là : x^2/8 + y^2/4 = 1.

a^2= 5^2= 25

b^2=3^2=9

Vậy phương trình chính tắc của elip là:

x^2/25+y^2/9=1

–Thay a² và b² vào dạng tổng quát, phương trình chính tắc của elip là:
x²/25 + y²/9 = 1

MF21+MF22=12

Diện tích ∆ MF1MF2 =1

–MF1^2 + MF2^2 = 12
–Diện tích tam giác MF1F2 = 1

a: Tọa độ trung điểm I của AB là:

\(\begin{cases}x_{I}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{1-2}{2}=-\frac12\\ y_{I}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{2+3}{2}=\frac52\end{cases}\)

=>I(-0,5;2,5)

A(1;2); B(-2;3)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;3-2\right)=\left(-3;1\right)\)

(d) là đường trung trực của AB

=>(d)⊥AB tại trung điểm I của AB

=>(d) nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;1\right)\) làm vecto pháp tuyến và đi qua I(-0,5;2;5)

Phương trình (d) là:

-3(x+0,5)+1(y-2,5)=0

=>-3x-1,5+y-2,5=0

=>-3x+y-4=0

b: (Δ1)//(Δ2)

=>(Δ1): x-y+c=0

Thay x=1 và y=2 vào (Δ1), ta được:

1-2+c=0

=>c-1=0

=>c=1

=>(Δ1): x-y+1=0

c: A(1;2); B(-2;3)

=>\(AB=\sqrt{\left(-2-1\right)^2+\left(3-2\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

Phương trình đường tròn (C) là:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=AB^2=10\)

d:

x-y+3=0

=>y=x+3

M thuộc (Δ2) nên M(x;x+3)

M(x;x+3); A(1;2)

MA=2

=>\(MA^2=4\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(x+3-2\right)^2=4\)

=>\(\left(x-1\right)^2+\left(x+1\right)^2=4\)

=>\(x^2-2x+1+x^2+2x+1=4\)

=>\(2x^2=2\)

=>\(x^2=1\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.\)

Khi x=1 thì M(1;4)

Khi x=-1 thì M(-1;2)