Sau 30ph người đi xe đạp đi được quãng đường là:

\(s_1=v_1t_1=6.\dfrac{30}{60}=3\left(km\right)\)

Gọi s là quãng đường từ A đến vị trí hai xe gặp nhau

Khi người đi xe máy đuổi kịp người đi xe đạp thì \(\dfrac{s}{v_2}=\dfrac{s-s_1}{v_1}\Leftrightarrow\dfrac{s}{36}=\dfrac{s-3}{6}\Rightarrow s=3,6\left(km\right)\)

Thời gian để người đi xe máy đuổi kịp người đi xe đạp là:

\(t=\dfrac{s}{v_2}=\dfrac{3,6}{36}=0,1\left(giờ\right)=6\left(phút\right)\)

1:

Sửa đề: Chứng minh \(\hat{BOA}=60^0\)

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC và AO là phân giác của góc BAC; OA là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA vuông tại B có \(cosBOA=\frac{OB}{OA}=\frac12\)

nên \(\hat{BOA}=60^0\)

Ta có: OA là phân giác của góc BOC

=>\(\hat{BOA}=\hat{COA}\)

=>\(\hat{COA}=60^0\)

Ta có: \(\hat{COA}+\hat{COD}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(\hat{COD}=180^0-60^0=120^0\)

2: Xét (O) có

\(\hat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\hat{BDE}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\hat{ABE}=\hat{DBE}\)

Xét ΔABE và ΔADB có

\(\hat{ABE}=\hat{ADB}\)

góc BAE chung

Do đó: ΔABE~ΔADB

=>\(\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AB^2=AE\cdot AD\)

Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại I và I là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BI là đường cao

nên \(AI\cdot AO=AB^2\)

=>\(AI\cdot AO=AD\cdot AE=AB^2\)

Tôi vừa trở về sau kỳ nghỉ 1 tuần với bạn bè ở Đà Nẵng và Quảng Ngãi. Chúng tôi ở Đà Nẵng hầu hết thời gian. Sau đó, chúng tôi đã dành vài đêm cuối cùng tại một nơi rất đẹp và có lịch sử lâu đời gọi là phố cổ Hội An. Chúng tôi đã thực sự có thời gian thư giãn với kỳ nghỉ. Chúng tôi đã thưởng thức một số món ăn địa phương tuyệt vời. Nó thực sự ngon. Các hoạt động mà chúng tôi thích trong kỳ nghỉ là đi bộ, bơi lội và đi chơi tối. Nước sạch và trong lành, nhiệt độ vừa phải – không quá nóng và không quá lạnh. Chúng tôi đã đi bộ leo núi trên núi gần đó trong một vài ngày, điều này rất tốt cho sức khỏe của chúng tôi. Tôi thực sự thích kỳ nghỉ này. Tôi yêu không khí trong lành và phong cảnh, và dĩ nhiên là thức ăn. Tôi chắc chắn sẽ trở lại đây vào lúc khác, tôi nghĩ đó là một trong những nơi yêu thích nhất của tôi trên thế giới.

I had a wonderful summer vacation at Vung Tau with my family last year. It took us about 2 hours to go there by car. However, we did not feel tired because we were very excited. Vung Tau beach was very large and beautiful. The waves were quite strong. My sister and I went swimming while my parents stayed on the shore to sunbathe. In the afternoon, my family went for a walk to see the sunset. We also took a lot of photos. After that, we went to a famous local restaurant to have dinner. The food was very tasty but not so expensive. On the next day, my family visited the seafood market to buy some seafood. I also bought some souvenirs for my friends. We returned home after spending 2 days in Vung Tau. Although the trip was short, I felt very happy. Hopefully, we can go back there again in the future. 

1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có

 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)

\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)

\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)

Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được

\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)

2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)

Dấu"=" khi a = 4b

nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)

Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được

\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)

\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)

Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)

nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)

khi đó a + b = 1

mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :

$\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{x+1}{8}+\frac{x+1}{8}\ge 3\sqrt[3]{3\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}$

=> $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}\ge \frac{3}{4}-\frac{x+1}{4}$ (1)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 

CM tương tự ra có " $\frac{1}{{\left(y+1\right)}^2}\ge \frac{3}{}$