Kí hiệu trùng nhau là: \(\equiv\)

kiểu là 3 gạch

Ta có:

$(x-1)\in BC(4,6,8)$

$BC(4,6,8)=BCNN(4,6,8)=24$

Nên: $x-1\in{0,24,48,72,96,120,144,\ldots}$

Vì $x<150$ nên:

$x\in{{1,25,49,73,97,121,145}}$

Vậy $x\in{{1,25,49,73,97,121,145}}$.

Ta có:
BCNN(4, 6, 8) = 24

Suy ra:
x thuộc 1; 25; 49; 73; 97; 121; 145; 169; ...

D = (x + y)^2

D = x^2 + 2xy + y^2

D = x^2 - 2xy + y^2 + 4xy

D = (x - y)^2 + 4xy

Thay x - y = 10 và xy = 24

D = 10^2 + 4.24

D = 100 + 96

D = 196

Kẻ tia $Bz$ qua $B$ sao cho $Bz // Ax$ ($Bz$ nằm trong góc $\widehat{ABC}$).

Vì $Ax // Bz$, hai góc trong cùng phía bù nhau nên:

$\widehat{xAB} + \widehat{ABz} = 180^\circ$ (1)

Vì tia $Bz$ nằm trong góc $\widehat{ABC}$ nên:

$\widehat{ABz} + \widehat{zBC} = \widehat{ABC}$

Cộng hai vế với $\widehat{xAB}$, ta có: $\widehat{xAB} + \widehat{ABz} + \widehat{zBC} = \widehat{xAB} + \widehat{ABC}$

Thay (1) vào biểu thức trên: $180^\circ + \widehat{zBC} = \widehat{xAB} + \widehat{ABC}$ (2)

Theo giả thiết: $\widehat{xAB} + \widehat{ABC} + \widehat{BCy} = 360^\circ$ (3)

Thay (2) vào (3), ta được:

$180^\circ + \widehat{zBC} + \widehat{BCy} = 360^\circ$

$\Rightarrow \widehat{zBC} + \widehat{BCy} = 360^\circ - 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat{zBC} + \widehat{BCy} = 180^\circ$

Vì $\widehat{zBC}$ và $\widehat{BCy}$ là hai góc trong cùng phía bù nhau nên: $Bz // Cy$

Do $Ax //l Bz$ và $Cy // Bz$, suy ra:

$Ax // Cy$ (điều phải chứng minh).

\(Q = \left( \frac{x+2}{x\sqrt{x} - \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{1 - \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} - 1}{2}\)

Điều kiện: \(x\ge0\) , \(\) \(x\) khác \(1\)

Đổi dấu ở phân thức thứ 3: \(-\frac{1}{1 - \sqrt{x}} = +\frac{1}{\sqrt{x} - 1}\)

Phân tích mẫu thức thứ nhất thành nhân tử:

\(x\sqrt{x} - \sqrt{x} = \sqrt{x}(x - 1) = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)\)

Mẫu thức chung trong ngoặc là: \(\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)=\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)\)

Quy đồng và cộng các phân thức trong ngoặc:

\(\frac{x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\quad\)

\(A = \frac{x+2 + \sqrt{x}\cdot \sqrt{x}(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)

\(A = \frac{x+2 + x(\sqrt{x}-1) + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)

\(A = \frac{x + 2 + x\sqrt{x} - x + x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)

\(A = \frac{2x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}\)

Phân tích tử số thành nhân tử:

\(2x\sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 2 = (2x\sqrt{x} + 2) + (x + \sqrt{x})\)

\(= 2(x\sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)\)

\(= 2(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)\)

\(= (\sqrt{x} + 1)\left[2(x - \sqrt{x} + 1) + \sqrt{x}\right]\)

\(= (\sqrt{x} + 1)(2x - \sqrt{x} + 2)\)

Thay vào biểu thức ta được:

\(Q = \frac{(\sqrt{x} + 1)(2x - \sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(Q = \frac{2(\sqrt{x} + 1)(2x - \sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2(x+\sqrt{x}+1)}\)

\(\Leftrightarrow Q=\frac{2(\sqrt{x} + 1)(2x - \sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}\quad\) với \(x>0,\) \(x\) khác \(1\)

ĐKXĐ: x > 0 và x ≠ 1

$Q = \left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} - \frac{1}{1-\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x}-1}{2}$

$= \left( \frac{x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{\sqrt{x}-1} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1}$

$= \left( \frac{x+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} + \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \right) \cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1}$

$= \frac{x + 2 + x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1}$

$= \frac{3x + 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}-1}$

$= \frac{6(x+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^2(x+\sqrt{x}+1)}$

438x(888-878)

=438x10

=4380

=4380

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{49\cdot50}\)

\(=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)

\(=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{50}-2\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=1+\frac12+\cdots+\frac{1}{50}-1-\frac12-\cdots-\frac{1}{25}\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\cdots+\frac{1}{50}\)

\(VT=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+\cdots+\frac{1}{49.50}\)

\(=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac15-\frac16\right)+\cdots+\left(\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac13+\frac15+\cdots+\frac{1}{49}\right)-\left(\frac12+\frac14+\frac16+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac12+\frac14+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)-2.\left(\frac12+\frac14+\frac16+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(=\left(1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac{1}{50}\right)-\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{25}\right)\)

\(=\frac{1}{26}+\frac{1}{27}+\cdots+\frac{1}{50}=VP\left(đpcm\right).\)

điểm B được đếm hai lần nên ta có:

n=14+16-1=30-1=29

Giải:

Vì B nằm ở vị trí thứ 14 kể từ trái sang phải nên trước B có tất cả số điểm là:

14 - 1 = 13 (điểm)

Vì B nằm ở vị trí thứ 16 kể từ phải sang trái nên sau B có tất cả số điểm là:

16 - 1 = 15(điểm)

Khi biểu diễn tập A trên tia số thì n ứng với số điểm là:

13 + 15 + 1 = 29(điểm)

Vậy n = 29 (số)

20<a<b

b<c<24

Do đó: 20<a<b<c<24

=>(a;b;c)∈{(21;22;23)}

=>c=23

Vì \(20<a<b;24>c>b\) nên: \(20<a<b<c<24\)

Mà \(a,b,c\in\mathbb{N}\) nên \(a=21;b=22;c=23\)

Vậy \(c=23.\)

=> \(N=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)

mà ta có bđt: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac32\)

ta có bđt: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac32\)

=> \(3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge3\cdot\frac32=\frac92\)

=> \(N\ge\frac32+\frac92=6\)

dấu "=" xảy ra khi : a=b=c=1

=> \(N=(a2b+c+b2a+c+c2a+b)+3(1b+c+1a+c+1a+b)N=(b+ca2​+a+cb2​+a+bc2​)+3(b+c1​+a+c1​+a+b1​)\)

mà ta có bđt: \(a2b+c+b2a+c+c2a+b≥(a+b+c)22(a+b+c)=a+b+c2=32b+ca2​+a+cb2​+a+bc2​≥2(a+b+c)(a+b+c)2​=2a+b+c​=23​\)

ta có bđt: \(1b+c+1a+c+1a+b≥92(a+b+c)=32b+c1​+a+c1​+a+b1​≥2(a+b+c)9​=23​\)

=> \(3(1b+c+1a+c+1a+b)≥3⋅32=923(b+c1​+a+c1​+a+b1​)≥3⋅23​=29​\)

=> \(N≥32+92=6N≥23​+29​=6\)

dấu "=" xảy ra khi : a=b=c=1