Câu 3.
a) Gọi J là trung điểm EF, I là chân đường vuông góc từ N xuống BC
Vì AD, BE, CF là các đường cao nên EF là cạnh của tam giác trực tâm
Do N thuộc AM và I là hình chiếu của N lên BC nên theo tính chất đường trung bình trong cấu hình tam giác trực tâm, A, I, J thẳng hàng
Vậy AI đi qua trung điểm J của EF
b) Vì P, Q lần lượt là hình chiếu của I lên AB, AC nên IP ⟂ AB, IQ ⟂ AC
Từ câu a có A, I, J thẳng hàng và J là trung điểm EF nên suy ra NP ⟂ AC, NQ ⟂ AB, AN ⟂ PQ
Vậy N là trực tâm của tam giác APQ
Câu 4.
Vì L đối xứng với D qua F nên F là trung điểm DL
Lại có CF ⟂ AB và D thuộc AH nên EF, AH cắt nhau tại K
Trong tam giác trực tâm, K nằm trên AH và thỏa mãn LK cắt AB tại P
Do I là trung điểm AH, F là trung điểm DL nên đường thẳng qua I song song AL cắt AB đúng tại P
Suy ra PI // AL

câu 4:

dễ CM: góc AFE= góc C

CMTT:=> △BFD~△ACB

=> góc BFD= góc C

=> góc AFE= góc BFD

mà góc BFD= góc AFL( đối đỉnh)

=> góc AFL= góc AFE

=> AF là phân giác của góc LFK

=> \(\frac{PK}{PL}=\frac{FK}{FL}\)

mà FL=FD

=> \(\frac{PK}{PL}=\frac{FK}{FD}\) (1)

xét tam giác vuông AFH

=> \(FI=AI=IH=\frac12AH\) => △IFA cân tại I

ta có góc IKF= góc AFE- góc IFA

= góc C-(90 độ- góc B)

=góc B+ góc C-90 độ

= (180 độ- góc A)-90 độ= 90 độ- góc A

mà góc BDF= góc A

=> góc FDA= 90 độ- góc BDF=90 độ- góc A

=> góc IFK= góc FDE

kết hợp với chung góc FIK

=> △IFK~△IDF(g.g)

=> \(\frac{IK}{IF}=\frac{FK}{DF}\) (2)

từ(1)(2)=> \(\frac{PK}{PL}=\frac{IK}{IF}\)

vì IF=IA

=> \(\frac{PK}{PL}=\frac{IK}{IA}\)

=> PI//AL(đpcm)

pls giúp đi mà :((

điểm E là j v bn

a)

Ta có:

2a² + 6a ≠ 0

⇔ 2a(a + 3) ≠ 0

⇔ a ≠ 0; a ≠ -3

Lại có:

a² - 9 ≠ 0

⇔ (a - 3)(a + 3) ≠ 0

⇔ a ≠ 3; a ≠ -3

Vậy điều kiện xác định là:

a ≠ 0; a ≠ 3; a ≠ -3

b)

Ta có:

2a² + 6a = 2a(a + 3)

a² - 9 = (a - 3)(a + 3)

Suy ra:

P = (a + 3)²/[2a(a + 3)] . [1 - 6(a - 3)/((a - 3)(a + 3))]

= (a + 3)/2a . (1 - 6/(a + 3))

= (a + 3)/2a . (a + 3 - 6)/(a + 3)

= (a + 3)/2a . (a - 3)/(a + 3)

= (a - 3)/2a

Vậy:

P = (a - 3)/2a

c)

P = 0

(a - 3)/2a = 0

⇔ a - 3 = 0

⇔ a = 3

Do a = 3 không thỏa điều kiện xác định nên không có giá trị nào của a.

P = 1

(a - 3)/2a = 1

⇔ a - 3 = 2a

⇔ a = -3

Do a = -3 không thỏa điều kiện xác định nên không có giá trị nào của a.

a) Điều kiện xác định:
2a^2+6a khác 0, a^2-9 khác 0
2a(a+3) khác 0, (a-3)(a+3) khác 0
a khác 0, a khác -3, a khác 3
b) Rút gọn:
P = (a+3)^2/[2a(a+3)] . [1 - (6a-18)/(a^2-9)]
P = (a+3)/(2a) . [1 - 6(a-3)/((a-3)(a+3))]
P = (a+3)/(2a) . [1 - 6/(a+3)]
P = (a+3)/(2a) . (a-3)/(a+3)
P = (a-3)/(2a)
c) P = 0
(a-3)/(2a) = 0
a - 3 = 0
a = 3, loại vì không thỏa điều kiện
Vậy không có giá trị a để P = 0
P = 1
(a-3)/(2a) = 1
a - 3 = 2a
a = -3, loại vì không thỏa điều kiện
Vậy không có giá trị a để P = 1

Gọi số cần nhân là \(a\).

Vì đặt các tích riêng thẳng hàng nên bạn học sinh đã tính:

→ \(a \times \left(\right. 1 + 3 + 5 \left.\right) = a \times 9 = 2025\)

→ \(a = 2025 : 9 = 225\)

Tích đúng là:

→ \(225 \times 135 = 30375\)

Đáp số: 30375.

Sao mik thử lại xem có ra tích sai ko thì lại ki ra hả banj:))

Gọi An = \(x\), Bình = \(y\)

→ \(x + y = 46\)

→ \(x + 4 = \frac{3}{4} \left(\right. y + 5 \left.\right)\)

→ \(4 x + 16 = 3 y + 15\)

→ \(4 x - 3 y = - 1\)

Giải hệ:

• \(x + y = 46\)
• \(4 x - 3 y = - 1\)

→ \(x = 19\), \(y = 27\)

Đáp số: An 19 viên, Bình 27 viên.

đề bài của bn có sai ko v?

Vì \(\hat{HIK},\hat{HIN}\) là 2 góc kề bù nên :

\(\hat{HIK}+\hat{HIN}=180^0\)

`=>`\(150^0+\hat{HIN}=180^0\)

`=>`\(\hat{HIN}=180^0-150^0=30^0\)

\[
\widehat{HIK} \text{ và } \widehat{HIN} \text{ là hai góc kề bù}
\]

Nên ta có:

\[
\widehat{HIK} + \widehat{HIN} = 180^\circ
\]

Mà:

\[
\widehat{HIK} = 150^\circ
\]

Suy ra:

\[
150^\circ + \widehat{HIN} = 180^\circ
\]

\[
\widehat{HIN} = 180^\circ - 150^\circ
\]

\[
\widehat{HIN} = 30^\circ
\]

Vậy:

\[
{\widehat{HIN} = 30^\circ}
\]

Bài 4.
Ta có A + B + C + D = 360°
Mà A + B = 230° nên C + D = 130°
Lại có C - D = 10°
Suy ra C = (130° + 10°) : 2 = 70°
D = 130° - 70° = 60°
Đáp án: C = 70°, D = 60°
Bài 5.
Gọi M = x
N = x + 10°
P = x + 20°
Q = x + 30°
Ta có x + x + 10° + x + 20° + x + 30° = 360°
4x + 60° = 360°
4x = 300°
x = 75°
Vậy M = 75°, N = 85°, P = 95°, Q = 105°
Bài 6.
Gọi tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD
Trong tam giác ABC: AC < AB + BC
Trong tam giác ADC: AC < AD + DC
Suy ra 2AC < AB + BC + CD + DA
Nên AC < nửa chu vi tứ giác
Tương tự, BD < nửa chu vi tứ giác
Mặt khác, trong các tam giác tạo bởi hai đường chéo, áp dụng bất đẳng thức tam giác suy ra AC + BD lớn hơn mỗi cặp cạnh đối, nên AC + BD > nửa chu vi tứ giác
Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi và nhỏ hơn chu vi của tứ giác.

Bài 4: Xét tứ giác ABCD có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^0\)

=>\(\hat{C}+\hat{D}=360^0-230^0=130^0\)

mà \(\hat{C}-\hat{D}=10^0\)

nên \(\hat{C}=\frac{130^0+10^0}{2}=70^0;\hat{D}=70^0-10^0=60^0\)

Bài 5:

\(\hat{P}=\hat{N}+10^0=\hat{M}+10^0+10^0=\hat{M}+20^0\)

\(\hat{Q}=\hat{P}+10^0=\hat{M}+20^0+10^0=\hat{M}+30^0\)

Xét tứ giác MNPQ có \(\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}+\hat{Q}=360^0\)

=>\(\hat{M}+\hat{M}+10^0+\hat{M}+20^0+\hat{M}+30^0=360^0\)

=>\(4\cdot\hat{M}=300^0\)

=>\(\hat{M}=75^0\)

=>\(\hat{N}=75^0+10^0=85^0;\hat{P}=75^0+20^0=95^0;\hat{Q}=75^0+30^0=105^0\)

Bài 6: Gọi tứ giác đề bài cho là ABCD, với O là giao điểm của AC và BD

Xét ΔOAB có OA+OB>AB

Xét ΔOBC có OB+OC>BC

Xét ΔOCD có OC+OD>CD

Xét ΔOAD có OA+OD>AD

Do đó: OA+OB+OC+OD+OC+OD+OA+OD>AB+BC+CD+AD

=>2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+AD

=>2(AC+BD)>AB+BC+CD+AD

=>\(AC+BD>\frac{AB+BC+CD+DA}{2}=\frac{P}{2}\) (1)

Xét ΔABC có BA+BC>AC

Xét ΔADC có AD+DC>AC

Xét ΔABD có AB+AD>BD

Xét ΔCBD có CB+CD>BD

Do đó: BA+BC+AD+DC+AB+AD+CB+CD>AC+AC+BD+BD

=>2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD)

=>AC+BD<AB+BC+CD+DA=P(2)

Từ (1),(2) suy ra P/2<AC+BD<P

32 học sinh

→ Mua 5 vé tặng 1 vé

→ 32 : 6 = 5 (dư 2)

→ Số vé phải mua = 32 − 5 = 27 (vé)

Đáp số: 27 vé.

32 học sinh

→ Mua 5 vé tặng 1 vé

→ 32 : 6 = 5 (dư 2)

→ Số vé phải mua = 32 − 5 = 27 (vé)

Đáp số: 27 vé.

1 dư 253

1: Ta có:\(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(DK=CK=\frac{DC}{2}\)

mà AB=CD

nên AE=EB=DK=CK

Xét tứ giác AEKD có

AE//KD

AE=KD

Do đó: AEKD là hình bình hành

Hình bình hành AEKD có \(\hat{EAD}=90^0\)

nên AEKD là hình chữ nhật

=>AK cắt ED tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AK và ED

AEKD là hình chữ nhật

=>AK=ED

mà \(OA=OK=\frac{AK}{2};OE=OD=\frac{DE}{2}\)

nên \(OA=OK=OE=OD=\frac{AK}{2}=\frac{DE}{2}\)

ΔDME vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên \(MO=\frac{DE}{2}=\frac{AK}{2}\)

Xét ΔMAK có

MO là đường trung tuyến

\(MO=\frac{AK}{2}\)

Do đó: ΔMAK vuông tại M

2:

Gọi I là trung điểm của AK và DM

Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

Do đó: AECK là hình bình hành

=>AK//CE

mà DM⊥EC

nên DM⊥AK tại I

Xét ΔDMC có

K là trung điểm của DC

KI//MC

Do đó: I là trung điểm của DM

Xét ΔADM có

AI là đường trung tuyến

AI là đường cao

Do đó: ΔADM cân tại A