Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{65} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \frac{1}{7^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{40} .\)

1️⃣ Chứng minh vế trái

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}}\)

Ta chỉ cần lấy một phần của tổng là đủ:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} > \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{125} + \frac{1}{216} .\)

Quy đồng:

\(\frac{1}{125} + \frac{1}{216} = \frac{216 + 125}{27000} = \frac{341}{27000} \approx 0.01263.\)

Trong khi đó:

\(\frac{1}{65} \approx 0.01538.\)

👉 À, nhìn thì chưa đủ, nên ta cộng thêm 1 số hạng nữa:

\(\frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343} \approx 0.0029.\)

Tổng:

\(0.01263 + 0.0029 = 0.01553 > 0.01538 = \frac{1}{65} .\)

✅ Suy ra:

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} .\)

2️⃣ Chứng minh vế phải

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40}\)

Ta dùng bất đẳng thức tích phân chuẩn:

Với \(x \geq 1\), hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{3}}\) giảm, nên:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x .\)

Tính tích phân:

\(\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{2 x^{2}} \left]\right.\right)_{4}^{\infty} = \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} = \frac{1}{32} .\)

Mà:

\(\frac{1}{32} < \frac{1}{40} .\)

👉 Do đó:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40} .\)

🎯 Kết luận

\(\boxed{\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} < \frac{1}{40}}\)

\[ \text{Đặt } S=\sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k^3}. \] Với mọi \(k\ge 5\), ta có \[ k(k+1)(k+2)>k^3>k(k-1)(k+1), \] nên \[ \frac{1}{k(k+1)(k+2)}<\frac{1}{k^3}<\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. \] Cộng theo \(k\) từ \(5\) đến \(2023\): \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}<S< \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)}. \] \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) \] \[ =\frac12\left(\frac{1}{5\cdot6}-\frac{1}{2024\cdot2025}\right) =\frac1{60}-\frac{1}{2\cdot2024\cdot2025}. \] Vì \[ \frac{1}{2\cdot2024\cdot2025}<\frac1{780}, \] suy ra \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} >\frac1{60}-\frac1{780} =\frac1{65}. \] Do đó \[ S>\frac1{65}. \] Mặt khác, \[ \sum_{k=5}^{2023}\frac{1}{k(k-1)(k+1)} =\frac12\sum_{k=5}^{2023}\left(\frac{1}{k(k-1)}-\frac{1}{k(k+1)}\right) \] \[ =\frac12\left[\left(\frac14-\frac1{2023}\right)-\left(\frac15-\frac1{2024}\right)\right] =\frac12\left(\frac1{20}-\frac1{2023\cdot2024}\right) <\frac1{40}. \] Suy ra \[ S<\frac1{40}. \] Vậy \[ \boxed{\frac1{65}<\frac1{5^3}+\frac1{6^3}+\frac1{7^3}+\cdots+\frac1{2023^3}<\frac1{40}.} \]

i dont know

I don't know

Trong đời sống hiện đại, đồ dùng bằng nhựa rất phổ biến vì những tiện ích: nhẹ, bền, giá rẻ và dễ sản xuất nên phù hợp với nhiều nhu cầu sinh hoạt. Tuy nhiên, mặt trái của nhựa cũng rất lớn. Chất liệu nhựa khó phân huỷ, khi thải ra môi trường dễ gây ô nhiễm đất, nước và ảnh hưởng tới sức khoẻ động vật, con người. Rác thải nhựa còn làm tắc nghẽn cống rãnh, gây ngập úng và thán kết nhiều sinh vật biển. Do đó, chúng ta cần sử dụng nhựa một cách hợp lý, hạn chế đồ dùng một lần, thay thế bằng các vật dụng thân thiện với môi trường như túi vải, ống hút tre. Mỗi người cũng cần phân loại và tái chế rác nhựa, tăng cường tuyên truyền nhằm nâng cao ý thức bảo vệ môi trường. Chỉ khi kết hợp khai thác đúng cách tiện ích của nhựa và giảm thiểu tác hại, cuộc sống chúng ta mới bền vữ vaà lâu dài.

Thời kỳ dựng nước

1. Nhà nước Văn Lang – khoảng 2879 TCN
(Các vua Hùng)

1. Nhà nước Âu Lạc – 257 TCN
   (An Dương Vương)

Thời kỳ Bắc thuộc (không phải triều đại Việt Nam)

• 179 TCN – 938
  (Bị các triều đại phong kiến phương Bắc đô hộ, xen kẽ một số cuộc khởi nghĩa giành quyền tự chủ)

Thời kỳ phong kiến độc lập

1. Nhà Ngô – 939
   (Ngô Quyền)
2. Nhà Đinh – 968
   (Đinh Bộ Lĩnh)
3. Nhà Tiền Lê – 980
   (Lê Hoàn)
4. Nhà Lý – 1009
   (Lý Công Uẩn)
5. Nhà Trần – 1225
   (Trần Cảnh)
6. Nhà Hồ – 1400
   (Hồ Quý Ly)

Bắc thuộc lần thứ tư

• 1407 – 1427
  (Nhà Minh đô hộ)

Thời kỳ trung hưng và phân tranh

1. Nhà Hậu Lê – 1428
   (Lê Lợi)
2. Nhà Mạc – 1527
   (Mạc Đăng Dung)

Sau đó là thời kỳ Lê Trung Hưng (1533), với:

• Chúa Trịnh (Đàng Ngoài)
• Chúa Nguyễn (Đàng Trong)
  → đất nước bị chia cắt nhưng vẫn lấy danh nghĩa nhà Lê

Thời kỳ thống nhất cuối phong kiến

1. Nhà Tây Sơn – 1778
   (Nguyễn Nhạc)
2. Nhà Nguyễn – 1802
   (Gia Long)

Thời kỳ hiện đại

1. Nhà nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa – 1945
2. Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam – 1976

6. Solar energy is the cleanest and most abundant renewable energy source.
7. You should fit solar panels to your home to provide water heating or electricity.
8. In a short time, many more people will be using electric cars.

6 Solar energy is the cleanest and most abundant renewable energy source
7 You should fit solar panels to your home to provide water heating or electricity
8 In a short time, many more people will be using electric cars

:??ai mà bt

Olm chào em, nhà sáng lập Olm là phó giáo sư:

Thầy Phạm Thọ Hoàn, em nhé.

Cảm ơn em đã tin tưởng và đồng hành cùng Olm, chúc em học tập hiệu qua và vui vẻ cùng Olm, em nhé.

3\(x\).(5\(x^2\) - 2\(x\) - 1)

= 15\(x^3\) - 6\(x^2\) - 3\(x\)

• Người nhận: Gửi Cỏ bốn lá xinh đẹp/may mắn,
• Người gửi: Từ Bông hoa nhỏ (luôn hướng về phía cậu).

thư upu thì không bạn nhé! lỡ bạn đc giải thì họ ko có cách nào để liên lạc bạn đâu!

a) Do \(\Delta ABC\) cân tại B (gt)

\(\) ⇒ BA = BC

Do H là trung điểm của AC (gt)

⇒ HA = HC

Xét ΔHBA và ΔHBC có:

BH là cạnh chung

HA = HC (cmt)

BA = BC (cmt)

⇒ ΔHBA = ΔHBC (c-c-c)

b) Do AI = CK (gt)

HA = HC (cmt)

⇒ HA + AI = HC + CK

⇒ HI = HK

Do ΔHBA = ΔHBC (cmt)

⇒ ∠HBA = ∠HBC (hai góc tương ứng)

Mà ∠HBA + ∠HBC = \(180^0\) (kề bù)

⇒ ∠HBA = ∠HBC = \(90^0\)

⇒ BH ⊥ AC

⇒ ΔBHI và ΔBHK cùng vuông tại H

Xét hai tam giác vuông: ΔBHI và ΔBHK có:

BH là cạnh chung

HI = HK (cmt)

⇒ ΔBHI = ΔBHK (hai cạnh góc vuông)

⇒ BI = BK (hai cạnh tương ứng)

⇒ ΔBIK cân tại B

Ta có:

3³⁰ = (3⁵)⁶

3⁵ ≡ 3 (mod 10)

(3⁵)⁶ ≡ 3⁶ (mod 10) ≡ 9 (mod 10)

Vậy chữ số tận cùng của 3³⁰ là 9

9 nha e