a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\)

=>AH là phân giác của góc BAC

a) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) có:

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(AH\) là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Do \(\Delta AHB=\Delta AHC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow AH\) là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Tỉ số giữa phần diện tích trồng hoa hồng và diện tích khu vườn là:

\(\dfrac{3}{4+3}=\dfrac{3}{7}\)

Tỉ số giữa phần diện tích trồng hoa cúc và diện tích khu vườn là:

\(\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{14}\)

Diện tích trồng hoa đồng tiền chiếm:

\(1-\dfrac{3}{7}-\dfrac{5}{14}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{5}{14}=\dfrac{3}{14}\)(khu vườn)

Diện tích khu vườn là:

\(90:\dfrac{3}{14}=90\cdot\dfrac{14}{3}=420\left(m^2\right)\)

Chúng ta cần tìm giá trị của biểu thức:

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b}\)

khi \(a , b\) là các số nguyên dương sao cho \(a^{2} + b^{2}\) chia hết cho \(a b\), tức là biểu thức này phải là một số nguyên.

Bước 1: Viết lại biểu thức

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b} = \frac{a^{2}}{a b} + \frac{b^{2}}{a b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\)

Ta đặt \(x = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\), trong đó \(x\) phải là một số nguyên.

Bước 2: Định nghĩa \(x\)

Ta biết rằng bất đẳng thức AM-GM cho ta:

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\)

Do \(x\) là số nguyên dương, giá trị nhỏ nhất của \(x\) là 2.

Bước 3: Tìm các giá trị hợp lệ

Ta xét trường hợp nhỏ nhất:

\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 2\)

Điều kiện này chỉ xảy ra khi \(a = b\). Thay vào biểu thức:

\(\frac{a^{2} + a^{2}}{a^{2}} = \frac{2 a^{2}}{a^{2}} = 2\)

Kết luận:

Vì bài toán yêu cầu \(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b}\) là một số nguyên, giá trị hợp lệ duy nhất là 2.

Vậy thương của phép chia luôn bằng 2.

Tham khảo
Ta có AB<BC<AC mà điểm B nằm trên đường thẳng AC do đó B nằm giữa A và C

3. Chứng minh công thức:

AF/AB + BE/BC + CN/CA = 1 trong tam giác ABC

Giả thiết:

• Tam giác ABC.
• Các điểm F, E, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA.

Cách chứng minh:

Trường hợp đặc biệt:
Nếu F, E, N là các điểm chia các cạnh theo cùng một tỉ lệ (ví dụ: F chia AB theo tỉ lệ x, E chia BC theo tỉ lệ y, N chia CA theo tỉ lệ z sao cho x + y + z = 1).

Chứng minh tổng quát:

• Gọi AF = x·AB, BE = y·BC, CN = z·CA, với x, y, z ∈ (0;1).
• Khi đó:
  \(\frac{A F}{A B} + \frac{B E}{B C} + \frac{C N}{C A} = x + y + z\)
• Nếu ba điểm F, E, N chia ba cạnh theo tỉ lệ x, y, z sao cho x + y + z = 1, thì tổng trên bằng 1.

Trường hợp đặc biệt:
Nếu F, E, N là trung điểm các cạnh, thì mỗi phân số đều bằng 1/2, tổng lại là 3/2 ≠ 1.
Vậy công thức đúng khi ba điểm chia ba cạnh theo tỉ lệ x, y, z với x + y + z = 1.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d

\(\Rightarrow AA_1||OH||BB_1\)

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(ABA_1\)

\(\dfrac{OH}{AA_1}=\dfrac{BH}{AB}\)

Áp dụng định lý Thales trong tam giác \(ABB_1\)

\(\dfrac{OH}{BB1}=\dfrac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{OH}{AA_1}+\dfrac{OH}{BB_1}=\dfrac{BH}{AB}+\dfrac{AH}{AB}\)

\(\Rightarrow OH.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=1\)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{a.b}{a+b}\)

Do a, b không đổi \(\Rightarrow OH\) không đổi

Hay khoảng cách từ O đến d không đổi khi A, B chạy trên d

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng CD
Giả sử:

• Tọa độ của điểm A và B thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn điều kiện bài toán.
• Điểm C và D được xác định dựa trên A và B qua một quy tắc cụ thể (ví dụ: trung điểm, hình chiếu, giao điểm đường phân giác...).
• Gọi phương trình đường thẳng CD có dạng:
  \(a x + b y + c = 0 (\text{ph}ụ\&\text{nbsp};\text{thu}ộ\text{c}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{o}\&\text{nbsp};\text{t}ọ\text{a}\&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp};\text{A},\&\text{nbsp};\text{B})\)

Bước 2: Tìm điểm cố định mà CD luôn đi qua

• Giả định tồn tại điểm cố định \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) sao cho CD luôn đi qua \(M\) với mọi vị trí của A và B (\(A \neq B\)).
• Thay \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) vào phương trình CD:
  \(a \left(\right. x_{0} , y_{0} , A , B \left.\right) \cdot x_{0} + b \left(\right. x_{0} , y_{0} , A , B \left.\right) \cdot y_{0} + c \left(\right. x_{0} , y_{0} , A , B \left.\right) = 0 \forall A , B\)
• Phân tích phương trình:
  Biến đổi phương trình về dạng đa thức theo tham số liên quan đến A và B. Để phương trình đúng với mọi A, B, hệ số của các hạng tử chứa tham số phải bằng 0.

Bước 3: Giải hệ phương trình

• Ví dụ: Nếu phương trình có dạng:
  \(\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{0} - \left(\right. 2 m - 3 \left.\right) y_{0} + 5 = 0 \forall m\)
• • Tách hệ số của \(m\):
    \(m \left(\right. x_{0} - 2 y_{0} \left.\right) + \left(\right. x_{0} + 3 y_{0} + 5 \left.\right) = 0 \forall m\)
  • Đồng nhất hệ số:
    \(\left{\right. x_{0} - 2 y_{0} = 0 \\ x_{0} + 3 y_{0} + 5 = 0\)
  • Giải hệ:
    \(x_{0} = 2 y_{0} 2 y_{0} + 3 y_{0} + 5 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y_{0} = - 1 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{0} = - 2\)
  • Kết luận: Điểm cố định là \(M \left(\right. - 2 , - 1 \left.\right)\).

Bước 4: Kiểm tra lại

• Thay \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) vào phương trình CD với các vị trí khác nhau của A, B để xác nhận tính đúng đắn.

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác ABC cố định. Trên AB lấy điểm D di động, trên AC lấy điểm E di động sao cho \(A D = C E\). Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

• Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ, giả sử \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\).
• Bước 2: Gọi \(D \left(\right. t , 0 \left.\right)\) trên AB và \(E \left(\right. 0 , t \left.\right)\) trên AC (vì \(A D = C E = t\)).
• Bước 3: Phương trình DE:
  \(\frac{x - t}{- t} = \frac{y}{t - 0} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x + y = t\)
• Bước 4: Phương trình \(x + y = t\) phụ thuộc vào \(t\). Để DE đi qua điểm cố định \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\):
  \(x_{0} + y_{0} = t \forall t \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{0} + y_{0} = 0\)
  Chọn \(M \left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\) (nằm trên đường thẳng \(x + y = 0\)).

Kết luận: DE luôn đi qua điểm cố định \(M \left(\right. 1 , - 1 \left.\right)\).

Đáp án:
Đường thẳng CD luôn đi qua điểm cố định \(M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) được xác định bằng cách giải hệ phương trình từ phương trình tổng quát của CD145.

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm P, I, K, Q
Giả thiết:

• P là trung điểm của AB.
• Q là trung điểm của AC.
• I và K lần lượt là trung điểm của BC và CA.

Bước 2: Tính chất hình học

• Đường trung bình PQ của tam giác ABC song song với BC và có độ dài bằng \(\frac{1}{2} B C\).
• Tứ giác PIKQ là hình bình hành (do PQ // IK và PI // QK).

Bước 3: Tính diện tích PIKQ

• Diện tích hình bình hành PIKQ = \(\frac{1}{2} \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ABC}\).
• Giả sử tam giác ABC có diện tích \(S_{A B C}\), khi đó:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác ABC có diện tích \(20 \textrm{ } \text{cm}^{2}\).

• Diện tích tứ giác PIKQ là:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)

Kết luận:
Diện tích tứ giác PIKQ bằng một nửa diện tích tam giác ABC nếu các điểm P, I, K, Q là trung điểm của các cạnh134.

Công thức tổng quát:

\(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Đáp án:
Diện tích tứ giác PIKQ là \(\boxed{\frac{1}{2} S_{A B C}}\).

Giải chi tiết:

Bước 1: Xác định vị trí các điểm P, I, K, Q
Giả thiết:

• P là trung điểm của AB.
• Q là trung điểm của AC.
• I và K lần lượt là trung điểm của BC và CA.

Bước 2: Tính chất hình học

• Đường trung bình PQ của tam giác ABC song song với BC và có độ dài bằng \(\frac{1}{2} B C\).
• Tứ giác PIKQ là hình bình hành (do PQ // IK và PI // QK).

Bước 3: Tính diện tích PIKQ

• Diện tích hình bình hành PIKQ = \(\frac{1}{2} \times \text{Di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ABC}\).
• Giả sử tam giác ABC có diện tích \(S_{A B C}\), khi đó:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Ví dụ minh họa:
Cho tam giác ABC có diện tích \(20 \textrm{ } \text{cm}^{2}\).

• Diện tích tứ giác PIKQ là:
  \(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)

Kết luận:
Diện tích tứ giác PIKQ bằng một nửa diện tích tam giác ABC nếu các điểm P, I, K, Q là trung điểm của các cạnh134.

Công thức tổng quát:

\(S_{P I K Q} = \frac{1}{2} S_{A B C}\)

Đáp án:
Diện tích tứ giác PIKQ là \(\boxed{\frac{1}{2} S_{A B C}}\).

Giải:

(\(x-3\))\(^5\) = 4.(\(x-3\))\(^3\)

(\(x-3\))\(^5\) - 4.(\(x-3\))\(^3\) = 0

(\(x-3\))\(^3\).[(\(x-3)^2\) - 4] = 0

\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ \left(x-3\right)^2=4\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}x=3\\ x-3=-2\\ x-3=2\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-2+3\\ x=2+3\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=1\\ x=5\end{array}\right.\)

Vậy \(x\in\left\lbrace1;3;5\right\rbrace\)

(x - 3)⁵ = 4(x - 3)³

(x - 3)⁵ - 4(x - 3)³ = 0

(x - 3)³.[(x - 3)² - 4] = 0

(x - 3)³.(x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = 0

(x - 3)³(x - 5)(x - 1) = 0

(x - 3)³ = 0 hoặc x - 5 = 0 hoặc x - 1 = 0

*) (x - 3)³ = 0

x - 3 = 0

x = 3

*) x - 5 = 0

x = 5

*) x - 1 = 0

x = 1

Vậy x = 1; x = 3; x = 5

bằng 6708