Ta có bất đẳng thức cần chứng minh là 4(x+1)(2x+1) ≤ 9(x+1)². Chuyển tất cả về một vế ta được 9(x+1)² − 4(x+1)(2x+1) ≥ 0. Đặt (x+1) làm nhân tử chung suy ra (x+1)[9(x+1) − 4(2x+1)] ≥ 0. Rút gọn biểu thức trong ngoặc ta có 9x + 9 − 8x − 4 = x + 5 nên bất đẳng thức trở thành (x+1)(x+5) ≥ 0. Tích này không âm khi x ≥ −1 hoặc x ≤ −5. Do đó bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi x thỏa mãn x ≥ −1 hoặc x ≤ −5.

Khi đọc bài thơ “Sự bùng nổ của mùa xuân”, em cảm nhận được một bức tranh thiên nhiên tràn đầy sức sống và niềm vui. Mùa xuân hiện lên không dịu dàng, lặng lẽ mà mạnh mẽ, tươi mới như đang vươn mình thức dậy sau mùa đông dài. Những hình ảnh thơ gợi cảm giác cây cối đâm chồi, muôn loài chuyển động rộn ràng, mang theo nguồn năng lượng tích cực lan tỏa khắp không gian. Qua giọng thơ sôi nổi và giàu cảm xúc, tác giả không chỉ miêu tả vẻ đẹp của thiên nhiên mà còn gửi gắm niềm tin, hi vọng vào sự khởi đầu mới của cuộc sống. Bài thơ khiến em thấy lòng mình trở nên vui tươi, phấn chấn hơn, như được tiếp thêm động lực để yêu đời, yêu thiên nhiên và trân trọng những khoảnh khắc tươi đẹp mà mùa xuân mang lại.

Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!

1 Trung quốc

2 Việt Nam

Nga

Bài 5:

a: \(D=\dfrac{6x}{4x^2-9}-\dfrac{x}{3-2x}+\dfrac{x}{2x+3}-1\)

\(=\dfrac{6x}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\dfrac{x}{2x-3}+\dfrac{x}{2x+3}-1\)

\(=\dfrac{6x+x\left(2x+3\right)+x\left(2x-3\right)-4x^2+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\dfrac{6x+x\left(2x+3+2x-3\right)-4x^2+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\dfrac{6x+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}=\dfrac{3}{2x-3}\)

b: \(D=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{3}{2x-3}=-\dfrac{1}{2}\)

=>2x-3=-6

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\left(loại\right)\)

c: Để D nguyên thì \(3⋮2x-3\)

=>\(2x-3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(x\in\left\{2;1;3;0\right\}\)

Bài 6:

a: \(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2x+4}{4-x^2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{5}{x-3}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\right)\cdot\dfrac{x-3+5}{x-3}\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2}{x-2}\right)\cdot\dfrac{x+2}{x-3}\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+1\right)\cdot\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{x-2+x+2}{x+2}\cdot\dfrac{x+2}{x-3}=\dfrac{2x}{x-3}\)

b: Khi x=-1 thì \(P=\dfrac{2\cdot\left(-1\right)}{-1-3}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}\)

c: \(P=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{1}{3}\)

=>3x=x-3

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\)(nhận)

d: Để P là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}2x⋮x-3\\\dfrac{2x}{x-3}>=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-6+6⋮x-3\\\dfrac{x}{x-3}>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6⋮x-3\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\\\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{4;5;6;0;9;-3\right\}\)

Chắc em ghi đề sai

Nếu \(a+b+c=1\) thì \(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{9}{10}\)

Còn \(a+b+c=3\) thì \(\dfrac{a}{1+a^2}+\dfrac{b}{1+b^2}+\dfrac{c}{1+c^2}\le\dfrac{3}{2}\)

Chứng minh BĐT dưới quá đơn giản chỉ bằng 1 dòng AM-Gm cho mẫu.

Còn BĐT trên thì sử dụng đánh giá (thông qua kĩ thuật UCT):

\(\dfrac{x}{1+x^2}\le\dfrac{36x+3}{50}\)

Nhân chéo quy đồng thì BĐT này tương đương:

\(\left(3x-1\right)^2\left(4x+3\right)\ge0\) (luôn đúng với x dương)

Áp dụng cho a;b;c rồi cộng vế là xong

Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\)(BFHD nội tiếp)

\(\widehat{EDH}=\widehat{ECH}\)(EHDC nội tiếp)

mà \(\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)

nên \(\widehat{FDH}=\widehat{EDH}\)

=>DH là phân giác của góc FDE

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\)(BFHD nội tiếp)

mà \(\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACD}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD

Xét ΔEFD có

DH,FH là các đường phân giác

DH cắt FH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp của ΔEFD

hay H cách đều ba cạnh của ΔEFD

a: Gọi I là giao điểm của AF và DM

Ta có: \(AE=EB=\dfrac{AB}{2}\)

\(DF=FC=\dfrac{DC}{2}\)

mà AB=DC(ABCD là hình vuông)

nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AECF có

AE//CF

AE=CF

Do đó: AECF là hình bình hành

=>AF//CE

mà DM\(\perp\)CE

nên DM\(\perp\)AF tại I

Xét ΔDMC có

F là trung điểm của DC

FI//MC

Do đó: I là trung điểm của DM

XétΔADM có

AI là đường cao

AI là đường trung tuyến

Do đó: ΔADM cân tại A

Gọi biểu thức cần tìm GTLN là P

Bunhiacopxki:

\(\left(x^2+y+z\right)\left(1+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2+y+z}\le\dfrac{1+y+z}{9}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{y^2+x+z}\le\dfrac{1+x+z}{9}\)

\(\dfrac{1}{z^2+x+y}\le\dfrac{1+x+y}{9}\)

Cộng vế:

\(P\le\dfrac{1+y+z}{9}+\dfrac{1+x+z}{9}+\dfrac{1+x+y}{9}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Anh onl lại rồi! Huhu