a: \(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+2acbd+a^2d^2+b^2c^2-2adbc\)

\(=a^2c^2+a^2d^2+b^2d^2+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

b: \(x^2+y^2=\dfrac{1}{2}\left(2x^2+2y^2\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\right]=\dfrac{1}{2}\left[4+\left(x-y\right)^2\right]>=\dfrac{1}{2}\cdot4=2\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=1

Tính giá trị biểu thức

H=2/35+4/77+2/143+4/221+2/323+4/437+2/575

@Thanh bạn đăng câu hỏi ở khung đăng câu hỏi nhé!Phần này để trả lời câu hỏi!

1: Thay x=2 vào phương trình, ta được:

\(2^2-2\left(m-2\right)\cdot2+m^2-8=0\)

=>\(4-4\left(m-2\right)+m^2-8=0\)

=>\(4-4m+8+m^2-8=0\)

=>\(m^2-4m+4=0\)

=>\(\left(m-2\right)^2=0\)

=>m-2=0

=>m=2

Lời giải:

a.

Vì $BE, CF$ là đường cao của tam giác $ABC$ nên $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$

Tứ giác $BCEF$ có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BCEF$ là tứ giác nội tiếp.

b.

Xét tam giác $BFH$ và $CFA$ có:

$\widehat{BFH}=\widehat{CFA}=90^0$

$\widehat{FBH}=\widehat{FBE}=\widehat{FCE}=\widehat{FCA}$ (do $BCEF$ là tgnt)

$\Rightarrow \triangle BFH\sim \triangle CFA$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BF}{CF}=\frac{BH}{CA}$

$\Rightarrow BF.CA=BH.CF$

c.

Kéo dài $AO$ cắt $(O)$ tại $M$ thì $O$ là trung điểm $AM$.

$K$ là trung điểm $BC$ nên $OK\perp BC$,  AH\perp BC$ (do $H$ là trực tâm) 

$\Rightarrow OK\parallel AH$

Có: $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn) 
$\Rightarrow AB\perp BM, AC\perp CM$

Mà $CH\perp AB, BH\perp AC$ nên $BM\parallel CH, CM\parallel BH$

$\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song) 
$\Rightarrow HM, BC$ cắt nhau tại trung điểm $K$ của $BC$

$\Rightarrow H,K,M$ thẳng hàng.

Tam giác $AHM$, áp dụng định lý Talet có:

$\frac{OK}{AH}=\frac{OM}{AM}=\frac{1}{2}$

Hình vẽ:

Lời giải:
Xét tứ giác $BFEC$ có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BFEC$ là tứ giác nội tiếp.

Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$. Theo tính chất tiếp tuyến thì $Ax\perp OA(1)$

Lại có:

Tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat{BCE}=\widehat{AFE}$

Mà $\widehat{BCE}=\widehat{BCA}=\widehat{xAB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó - cụ thể ở đây là cung $AB$)

$\Rightarrow \widehat{AFE}=\widehat{xAB}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên $Ax\parallel EF(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow EF\perp OA$ 

a: ΔAED vuông tại A

=>A nằm trên đường tròn đường kính ED

mà A,E,D cùng nằm trên (H)

nên ED là đường kính của (H)

=>E,D,H thẳng hàng

b: ΔABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

nên \(BC=2\cdot AM=2\cdot5=10\left(\operatorname{cm}\right)\)

=>BH+CH=10

=>HB=10-CH

Xét ΔABC có AB<AC

mà HB,HC lần lượt là hình chiếu của AB,AC trên BC

nên HB<HC

=>\(HC>\frac{BC}{2}=5\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2=4,8^2=23,04\)

=>HC(10-CH)=23,04

=>\(10HC-HC^2=23,04\)

=>\(HC^2-10HC=-23,04\)

=>\(HC^2-10HC+23,04=0\)

=>(HC-3,6)(HC-6,4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}HC=3,6\left(loại\right)\\ HC=6,4\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

HB=10-HC=10-6,4=3,6(cm)

ΔAHB vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=3,6^2+4,8^2=36=6^2\)

=>AB=6(cm)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AC^2=HA^2+HC^2=4,8^2+6,4^2=64=8^2\)

=>AC=8(cm)

Ta có: \(\hat{HAE}=\hat{HEA}\)

=>\(\hat{AED}=\hat{HAC}\)

mà \(\hat{HAC}=\hat{ABC}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)

nên \(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

Xét ΔAED vuông tại A và ΔABC vuông tại A có

\(\hat{AED}=\hat{ABC}\)

Do đó: ΔAED~ΔABC

c: Ta có: ΔAED~ΔABC

=>\(\hat{ADE}=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{EDB}=\hat{ECB}\)

=>BDCE là tứ giác nội tiếp

Bài 4:

a: \(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(m-2\right)\)

\(=m^2-4m+8=\left(m-2\right)^2+4>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1-x_2=2\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

=>\(m^2-4\left(m-2\right)-4=0\)

=>\(m^2-4m+4=0\)

=>\(\left(m-2\right)^2=0\)

=>m-2=0

=>m=2

cho tam giác vuông ABC vuông tại A, biết AB=7 cm, BC=10 cm.

tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C

a:

b:

a: 

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=\left(m-2\right)x+6\)

=>\(x^2-\left(m-2\right)x-6=0\)

\(a\cdot c=1\cdot\left(-6\right)=-6< 0\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-6\end{matrix}\right.\)

\(x_2^2-x_1x_2+\left(m-2\right)x_1=16\)

=>\(x_2^2+x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=16\)

=>\(x_2^2+x_1^2=16\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=16\)

=>\(\left(m-2\right)^2-2\cdot\left(-6\right)=16\)

=>\(\left(m-2\right)^2=4\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=2\\m-2=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=0\end{matrix}\right.\)

ΔABC vuông tại A

=>ΔABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

Vì OA=OC

nên O nằm trên đường trung trực của AC

=>OD là đường trung trực của AC

=>OD\(\perp\)AC

mà AB\(\perp\)AC

nên OD//AB

=>\(\widehat{ODB}=\widehat{ABD}\)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{OBD}\)(BD là phân giác của góc ABC)

nên \(\widehat{OBD}=\widehat{ODB}\)

=>OB=OD=R

=>D thuộc đường tròn ngoại tiếp ΔABC