a: \(x^2-x-6=0\)

=>(x-3)(x+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

b: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=5^2-2\cdot3=25-6=19\)

=>\(x_2^2=19-x_1^2\)

=>\(2x_2^2=38-2x_1^2\)

\(P=x_1^2-2x_1+\left(2x_2^2+9x_1-40\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(38-2x_1^2+9x_1-40\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(-2x_1^2+9x_1-2\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(2x_1^2-9x_1+2\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(2x_1^2-10x_1+6+x_1-4\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+\left(x_1-4\right)^2\)

\(=x_1^2-2x_1+x_1^2-8x_1+16\)

\(=2x_1^2-10x_1+16\)

\(=2x_1^2-10x_1+6+10=0+10=10\)

a: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

b: Ta có: BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{BED}+\widehat{BCD}=180^0\)

mà \(\widehat{BED}+\widehat{AED}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

Xét ΔAED và ΔACB có

\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)

\(\widehat{EAD}\) chung

Do đó: ΔAED~ΔACB

Vì sao ngày sau khi thành lập nước Việt Nam dân chủ cộng hòa đã ở vào tình thế ngàn cân treo sợi tóc 

c: \(P=A:B=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}\)

Để P là số nguyên thì \(2\sqrt{x}+3⋮\sqrt{x}-1\)

=>\(2\sqrt{x}-2+5⋮\sqrt{x}-1\)

=>\(5⋮\sqrt{x}-1\)

=>\(\sqrt{x}-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{2;0;6\right\}\)

=>\(x\in\left\{4;0;36\right\}\)

mà x lớn nhất

nên x=36

a: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔBAM có

H,E lần lượt là trung điểm của BA,BM

=>HE là đường trung bình của ΔBAM

=>HE//AM

b: HE//AM

=>\(\hat{HEA}=\hat{EAM}=\hat{CAM}\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\hat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{MAC}=\hat{ABC}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{HEC}=\hat{HBC}\)

=>HCEB là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>PA\(\perp\)BD tại A

Xét (O) có

ΔCIB nội tiếp

CB là đường kính

Do đó: ΔCIB vuông tại I

Xét tứ giác ADHC có \(\widehat{DAC}+\widehat{DHC}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHC là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔDBP có

PA,BH là các đường cao

PA cắt BH tại C

Do đó: C là trực tâm của ΔDBP

=>DC\(\perp\)BP

mà CI\(\perp\)BP

mà DC,CI có điểm chung là C

nên D,C,I thẳng hàng

a: Xét tứ giác BEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{CNM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CNM}=\widehat{CBM}\)

mà \(\widehat{CBM}=\widehat{CED}\)(BEDC nội tiếp)

nên \(\widehat{HED}=\widehat{HNM}\)

=>ED//MN

c: Kẻ Ax là tiếp tuyến của (O) tại A

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\left(=180^0-\widehat{EDC}\right)\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{ADE}\)

=>Ax//DE

=>OA\(\perp\)DE

a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AF\cdot AB\)

c: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính BC

=>IE\(\perp\)EM tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Ta có: ΔIEB cân tại I

=>\(\widehat{IEB}=\widehat{IBE}\)

\(\widehat{MEI}=\widehat{MEH}+\widehat{IEH}=90^0\)

\(\widehat{BHK}+\widehat{HBK}=90^0\)

mà \(\widehat{IEH}=\widehat{IBE}\)

nên \(\widehat{MEH}=\widehat{BHK}\)

=>\(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

=>ME=MH

Ta có: \(\widehat{MEH}+\widehat{MEA}=\widehat{AEH}=90^0\)

\(\widehat{MHE}+\widehat{MAE}=90^0\)

mà \(\widehat{MEH}=\widehat{MHE}\)

nên \(\widehat{MEA}=\widehat{MAE}\)

=>MA=ME

=>MA=MH

=>M là trung điểm của AH