1. Để chứng minh sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa, ta quan sát rằng mỗi bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp tăng lên 1 đơn vị. Ban đầu có 2023 viên bi, và sau mỗi bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp tăng lên 1 đơn vị. Vì số lượng ô là vô hạn, nên sau một số bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp sẽ vượt quá 2023. Do đó, sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa.

2. Để chứng minh P, Q, D, H đồng viên, ta sử dụng tính chất của tam giác nội tiếp và ngoại tiếp.

Vì tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), nên ta có:

• Giao điểm của EF và BC là D.
• Giao điểm của AG và EF là H.
• Giao điểm của AG và (I) là M.

Ta cần chứng minh P, Q, D, H đồng viên, tức là chúng nằm trên một đường thẳng.

Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn ngoại tiếp (O) và đường tròn nội tiếp (I), ta có:

• Điểm P = AB ∩ EF.
• Điểm Q = AC ∩ EF.
• Điểm D = BC ∩ PQ.

Vì P, Q, D nằm trên cùng một đường thẳng PQ, nên ta chỉ cần chứng minh H nằm trên đường thẳng PQ.

Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn ngoại tiếp (O) và đường tròn nội tiếp (I), ta có:

• Điểm H = AG ∩ EF.
• Điểm M = BC ∩ OI.
• Điểm D = PQ ∩ OI.

Vì H, M, D nằm trên cùng một đường thẳng OI, nên H nằm trên đường thẳng PQ.

Vậy ta đã chứng minh được rằng P, Q, D, H đồng viên.

a) \(\dfrac{1}{\tan\alpha+1}+\dfrac{1}{\cot\alpha+1}\) \(=\dfrac{\tan\alpha+1+\cot\alpha+1}{\left(\tan\alpha+1\right)\left(\cot\alpha+1\right)}\) \(=\dfrac{\tan\alpha+\cot\alpha+2}{\tan\alpha\cot\alpha+\tan\alpha+\cot\alpha+1}\) \(=1\) (vì \(\tan\alpha\cot\alpha=1\))

b) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin\left(\pi+\alpha\right)\) \(=\sin\left(\alpha\right)-\sin\left(\pi-\alpha\right)\) \(=0\) (do \(\sin\) của 2 cung bù nhau thì bằng nhau, \(\cos\) của 1 góc bằng \(\sin\) của góc phụ với nó).

c) \(\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos\left(-\alpha+6\pi\right)-\tan\left(\alpha+\pi\right)\cot\left(3\pi-\alpha\right)\)

\(=\cos\left(\pi-\alpha\right)+\cos\left(-\alpha\right)-\tan\alpha\cot\left(\pi-\alpha\right)\)

\(=\tan\alpha\cot\alpha\) \(=1\) (ở đây áp dụng tính chất của 2 cung hơn kém \(\pi\) nhiều lần)

a) Vận tốc \(v_2\) là:

\(v_{tb}=\dfrac{s}{t_1+t_2}=\dfrac{s}{\dfrac{s}{2v_1}+\dfrac{s}{2v_2}}\Leftrightarrow\dfrac{1}{v_{tb}}=\dfrac{1}{2v_1}+\dfrac{1}{2v_2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{37,5}=\dfrac{1}{2\cdot30}+\dfrac{1}{2v_2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{37,5}=\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{2v_2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{2v_2}\Leftrightarrow v_2=\dfrac{100}{2}=50km/h\)

b) Vận tốc trung binhg trên cả quãng đường là:

\(v_{tb}'=\dfrac{s_1+s_2}{t}=\dfrac{v_1\dfrac{t}{2}+v_2\dfrac{t}{2}}{t}=\dfrac{v_1+v_2}{2}=\dfrac{30+50}{2}=\dfrac{80}{2}=40\left(km/h\right)\)

a) Thời gian An đi từ A đến B là:

\(t_1=\dfrac{s}{v_1}=\dfrac{6}{12}=0,5\left(h\right)\)

Đổi: 15 phút = \(0,25\left(h\right)\), 30 phút = \(0,5\left(h\right)\)

Thời gian Bình đi từ A đến B là:

\(t_2=t_1+0,5-0,25=0,5+0,5-0,25=0,75\left(h\right)\)

Vận tốc của Bình là:

\(v_2=\dfrac{s}{t_2}=\dfrac{6}{0,75}=8\left(km/h\right)\)

b) Để đến nơi cùng lúc với An thì Bình phải đi trong thời gian là:

\(t_3=t_1-0,25=0,5-0,25=0,25\left(h\right)\)

Vận tốc của Bình để đến nơi cùng lúc với An là:

\(v_3=\dfrac{s}{t_3}=\dfrac{6}{0,25}=24\left(km/h\right)\)

a) Để tính tốc độ của mỗi xe, ta sử dụng công thức v = s/t, trong đó:

• v là tốc độ (km/h)
• s là quãng đường (km)
• t là thời gian (h)

Cho biết ô tô cách ngã tư 12 km sau 10 phút (0.167 giờ), vậy ta có:

• Quãng đường của ô tô: s_ô tô = 12 km
• Thời gian của ô tô: t_ô tô = 0.167 giờ

Tốc độ của ô tô: v_ô tô = s_ô tô / t_ô tô = 12 km / 0.167 giờ ≈ 71.86 km/h

Tương tự, cho biết xe đạp cách ngã tư 3 km sau 10 phút (0.167 giờ), vậy ta có:

• Quãng đường của xe đạp: s_xe đạp = 3 km
• Thời gian của xe đạp: t_xe đạp = 0.167 giờ

Tốc độ của xe đạp: v_xe đạp = s_xe đạp / t_xe đạp = 3 km / 0.167 giờ ≈ 17.96 km/h

Vậy tốc độ của ô tô là khoảng 71.86 km/h và tốc độ của xe đạp là khoảng 17.96 km/h.

b) Để tính khoảng cách giữa hai xe sau 2 giờ chuyển động, ta tính được quãng đường mỗi xe đi trong 2 giờ, sau đó tính khoảng cách giữa hai điểm cuối cùng của mỗi xe.

• Quãng đường của ô tô sau 2 giờ: s_ô tô = v_ô tô * t = 71.86 km/h * 2 giờ = 143.72 km
• Quãng đường của xe đạp sau 2 giờ: s_xe đạp = v_xe đạp * t = 17.96 km/h * 2 giờ = 35.92 km

Khoảng cách giữa hai xe sau 2 giờ chuyển động là: khoảng cách = s_ô tô - s_xe đạp = 143.72 km - 35.92 km = 107.8 km

Vậy khoảng cách giữa hai xe sau 2 giờ chuyển động là 107.8 km.