ĐKXĐ : \(x\ge\frac{2}{3}\)

Đặt \(\sqrt{4x+1}=a;\sqrt{3x-2}=b\)(1) 

Khi đó a + b = 5 (2) 

Từ (1) => \(\hept{\begin{cases}12x+3=3a^2\\12x-8=4b^2\end{cases}}\Leftrightarrow3a^2-4b^2=11\)(3) 

Từ (2) ; (3) => HPT \(\hept{\begin{cases}a+b=5\\3a^2-4b^2=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=5-a\\3a^2-4\left(5-a\right)^2=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=5-a\\a^2-40a+111=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=5-a\\\left(a-3\right)\left(a-37\right)=0\end{cases}}\)

Khi a = 3 => b = 2  <=> x = 2

Khi a = 37 => b = -32 (loại) 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

Ta có:

\(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Dễ dàng chứng minh được:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc\)

Khi đó ta được bất đẳng thức:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)

Vậy ta cần chứng minh:

\(\frac{a^3+b^3+c^3+24abc}{abc}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge28\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge4\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:

\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2\)

Để hoàn thành chứng minh ta cần chỉ ra được:

\(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)

Theo bất đẳng thức Cauchy thì bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.

Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại \(a=b=c\)

6 790 110 118 nha bạn 

chúc bạn học tốt !!! :))

=6790110100

I. Mở bài:

- Dẫn dắt vấn đề: Khái quát về tác giả, tác phẩm, giá trị nội dung, nghệ thuật của bài Bình Ngô đại cáo.

II. Thân bài:

- Nêu luận đề chính nghĩa: Cốt lõi nhân nghĩa chính là yên dân và trừ bạo. Nhân nghĩa không bó hẹp trong khuôn khổ tư tưởng Nho giáo mà rộng hơn là làm thế nào để đem lại cuộc sống yên bình cho nhân dân. Bên cạnh đó khẳng định nước ta tuy là một nước nhỏ nhưng vẫn có thể tự hào về:

Nền văn hiến lâu đời.
Cương vực lãnh thổ.
Phong tục tập quán.
Lịch sử và chế độ riêng.
- Bản cáo trạng vạch rõ tội ác kẻ thù: Giặc Minh xảo quyệt thừa nước đục thả câu. Không những thế còn tàn sát, hành hạ, tước đoạt mạng sống con người một cách dã man (dẫn chứng).

- Tổng kết quá trình kháng chiến:

Xây dựng hình tượng người anh hùng áo vải bình thường nhưng có lòng yêu nước thương dân và căm thù giặc sâu sắc, có lí tưởng cao cả (so sánh với Trần Quốc Tuấn để thấy được lòng căm thù giặc và niềm tin sắt đá).
Khắc họa những chiến công oanh liệt hào hùng (dẫn chứng).
- Tuyên bố hòa bình mở ra kỉ nguyên mới.

* Nghệ thuật:

- Sử dụng từ ngữ hiển nhiên, vốn có.

- Biện pháp đối lập, lấy cái vô hạn của trúc Nam Sơn để nói đến cái vô hạn trong tội ác giặc Minh, lấy cái vô cùng của nước Đông Hải để nói lên sự dơ bẩn vô cùng.

- Nghệ thuật xây dựng hình tượng nhân vật.

- Liệt kê, so sánh, đối lập để tạo thành bản anh hùng ca về những chiến công oanh liệt.

III. Kết bài:

Tóm tắt lại nội dung, nghệ thuật tiêu biểu.

Dàn ý số 2
1. Mở bài

Giới thiệu tác giả Nguyễn Trãi và tác phẩm Bình Ngô đại cáo.

2. Thân bài:

2.1. Tác giả Nguyễn Trãi:

a. Thân thế, cuộc đời:

- Nguyễn Trãi (1380-1442), tên hiệu là Ức Trai, quê gốc ở huyện Chí Linh, tỉnh Hải Dương, sau đó dời đến Định Khê, Thường Tín, Hà Nội.

- Xuất thân trong một gia đình danh giá, cha là Nguyễn Phi Khanh, đã từng đỗ thái học sinh (tiến sĩ) dưới thời nhà Trần, mẹ là Trần Thị Thái con của quan Tư đồ Trần Nguyên Đán.

- Năm 1400, Nguyễn Trãi thi đỗ thái học sinh và cùng cha ra làm quan dưới triều nhà Hồ, năm 1407 nhà Hồ sụp đổ, giặc Minh xâm lược nước ta, Nguyễn Phi Khanh bị giặc bắt giải về Trung Quốc, còn Nguyễn Trãi bị giam lỏng tại thành Đông Quan.

- 1417, gia nhập nghĩa quân Lam Sơn, trở thành quân sư cho Lê Lợi, đóng góp nhiều công lao to lớn giúp nghĩa quân chiến thắng giặc Minh và lập ra nhà Hậu Lê.

- Nhà Hậu Lê thành lập không bao lâu thì gặp phải cuộc khủng hoảng nghiêm trọng, nội bộ đất nước xảy ra mâu thuẫn => Nguyễn Trãi bị nghi ngờ và không được tin dùng trong suốt 10 năm trời.

- Năm 1440 lại được vua Lê Thái Tông mời ra giúp nước.

- Năm 1442 thảm án Lệ chi viên ập xuống, dẫn đến kết cục vô cùng bi đát - Nguyễn Trãi phải chịu tội tru di tam tộc.

b. Sự nghiệp sáng tác:

* Các tác phẩm chính trong các lĩnh vực:

- Lịch sử: Văn bia Vĩnh Lăng, Lam Sơn thực lục ghi lại kể lại cuộc khởi nghĩa Lam Sơn.

- Chính trị quân sự có Quân trung từ mệnh tập, Bình Ngô đại cáo.

- Địa lý: Dư địa chí - cuốn sách địa lý cổ nhất Việt Nam.

- Văn học:

Chữ Hán: Ức Trai thi tập
Chữ Nôm: Quốc âm thi tập - cuốn sách viết bằng tiếng Việt đầu tiên còn lại cho đến ngày hôm nay.
* Nhà văn chính luận kiệt xuất:

- Để lại một số lượng tác phẩm khá lớn, ngoài Quân trung từ mệnh tập và Bình Ngô đại cáo đã kể trên, người ta còn sưu tập được khoảng 28 tác phẩm thuộc các thể loại chiếu, biểu, ... dưới triều Lê.

- Nội dung tư tưởng chủ đạo xuyên suốt là nhân nghĩa, yêu nước và thương dân.

- Đặc sắc nghệ thuật: Kết cấu chặt chẽ, lập luận sắc bén, sử dụng các bút pháp linh hoạt tùy theo mục đích, yêu cầu, đối tượng.

* Nhà thơ trữ tình sâu sắc:

- Các tác phẩm hiện còn gồm hai tập thơ Ức Trai thi tập và Quốc âm thi tập

- Nội dung:

Ghi lại hình ảnh người anh hùng vĩ đại Nguyễn Trãi: Lý tưởng nhân nghĩa, yêu nước thương dân; ý chí chống ngoại xâm và cường quyền bạo lực; các phẩm chất tốt đẹp tượng trưng cho người quân tử.
Trong tư cách là một con người trần thế, ông hiện lên với những đặc điểm của một con người đời thường giản dị, ông đau đớn trước nghịch cảnh éo le của xã hội cũ, trước thói đời bạc bẽo, nham hiểm, ông cũng có những tình yêu sâu sắc với thiên nhiên, đất nước con người và cuộc sống, đồng thời thể hiện cả những tình nghĩa giữa cha con, vua tôi, bạn bè rất sâu nặng.
2.2. Tác phẩm Bình Ngô đại cáo:

a. Hoàn cảnh ra đời:

- Ra đời vào thời điểm cuối năm 1427, đầu năm 1428 sau khi nghĩa quân Lam Sơn tiêu diệt được 15 vạn viện binh của giặc, Vương Thông đang cố thủ trong thành Đông Quan đã phải xin giảng hòa và rút quân về nước.

- Nguyễn Trãi đã thừa lệnh Lê Lợi viết Bình Ngô đại cáo để chiếu cáo với thiên hạ rằng chúng ta đã giành lại độc lập dân tộc, tuyên ngôn độc lập, mở ra một trang mới cho lịch sử nước nhà.

b. Ý nghĩa nhan đề:

- "Bình Ngô", tức là bình định quân Minh xâm lược, dẹp yên giặc dữ (bởi vua Minh vốn là người nước Ngô, đại diện cho một đất nước, đại diện cho cả một dân tộc. Theo một cách lý giải khác giặc Ngô còn là tên gọi chung để chỉ thứ giặc đến từ phương Bắc với các đặc điểm chung là tàn ác và vô nhân đạo).

- Hai chữ "đại cáo" tức là bản cáo lớn, thể hiện tầm quan trọng của sự kiện cần tuyên bố, cũng như khẳng định tư tưởng lớn của dân tộc.

- Khái niệm "cáo": (Tham khảo sách giáo khoa)

c. Bố cục:

Đoạn 1 là nêu luận đề chính nghĩa, đoạn 2 vạch rõ tội ác của kẻ thù, phần 3 kể lại diễn biến của cuộc khởi nghĩa, đoạn 4 là phần tuyên bố chiến quả khẳng định sự nghiệp chính nghĩa.

d. Nội dung:

- Đoạn 1: Nêu ra luận đề chính nghĩa với hai cơ sở lớn:

Tư tưởng nhân nghĩa "Việc nhân nghĩa cốt ở yên dân/Quân điếu phạt trước lo trừ bạo", lấy nhân dân làm gốc, thể hiện tấm lòng yêu nước, thương dân, một lòng vì nhân dân.
Khẳng định chủ quyền của dân tộc thông qua nhiều khía cạnh khác nhau bao gồm: Văn hiến, ranh giới lãnh thổ, lịch sử đấu tranh, triều đại trị vì và phong tục tập quán.
- Đoạn 2: Nêu nên tính chất phi nghĩa của quân Minh xâm lược và tội ác của chúng trên đất nước ta:

Lấy danh nghĩa phù Trần diệt Hồ để dẫn quân vào xâm lược nước ta.
Tàn sát giết hại đồng bào một cách dã man, ra sức bóc lột thuế khóa, đàn áp vắt kiệt sức lao động, đẩy nhân dân ta vào chỗ nguy hiểm, dùng mọi thủ đoạn vơ vét tài nguyên sản vật, phá hoại tài nguyên cây cỏ, phá hoại cả nền nông nghiệp của nhân dân ta.
- Đoạn 3:

+ Tái hiện lại tài năng nhân phẩm và ý chí của chủ soái Lê Lợi.

+ Kể lại cuộc khởi nghĩa Lam Sơn qua nhiều giai đoạn.

- Đoạn 4:

Tuyên bố thắng lợi, khẳng định độc lập chủ quyền của dân tộc, tính chất chính nghĩa của khởi nghĩa Lam Sơn, mở ra kỷ nguyên mới trong lịch sử dân tộc, kỷ nguyên độc lập, tự do và toàn vẹn lãnh thổ.
Rút ra bài học lịch sử cho dân tộc dựa trên tư tưởng mệnh trời, quy luật của tạo hóa trong ngũ hành, bát quái, Kinh dịch:
e. Nghệ thuật:

- Kết hợp hài hòa giữa yếu tố chính luận và chất văn chương nghệ thuật.

- Yếu tố chính luận thể hiện ở kết cấu chặt chẽ của tác phẩm, lập luận sắc bén, lời văn đanh thép, hùng hồn.

- Chất văn chương nghệ thuật lời văn rất giàu cảm xúc, xen lẫn giữa những đoạn thuật lại một cách khách quan, là những đoạn bộc lộ cảm xúc trực tiếp của tác giả. Câu văn rất giàu hình tượng nghệ thuật sinh động tạo ra sức mạnh gợi cảm, gợi tả lớn, vận dụng cả sự hiểu biết của mình về các điển tích điển cố, lịch sử.

3. Kết bài:

Nêu cảm nhận chung.

Thuyết minh bài Đại Cáo Bình Ngô - Mẫu 1
Là một tác gia lớn trong nền văn học trung đại Việt Nam, Nguyễn Trãi đã để lại cho thế hệ mai sau, cho nền văn học nước nhà một khối lượng tác phẩm đồ sộ, ấn tượng. Văn chương của ông gắn liền với số phận con người. Nổi bật trong số đó chính là áng thiên cổ hùng văn “Bình Ngô đại cáo”.

Là một áng văn lưu danh thiên cổ khi nó tổng kết lại quá trình kháng chiến chống quân Minh xâm lược trong mười năm của nghĩa quân lam Sơn. Đồng thời, bài cáo còn thể hiện tinh thần yêu nước nồng nàn của quân và dân, truyền thống bảo vệ nền độc lập dân tộc bất khuất và tinh thần nhân nghĩa, vì nhân dân, vì con người xuyên suốt cả tác phẩm. Với bút pháp chính luận kết hợp với trữ tình qua giọng văn truyền cảm, mạnh mẽ, Bình Ngô đại cáo xứng đáng là áng “thiên cổ hùng văn”, được người đọc ca tụng muôn đời.

Bài cáo được viết bằng lối văn biền ngẫu thông dụng, dùng để thông báo, tuyên bố về một sự kiện trọng đại của quốc gia, của dân tộc. Đồng thời, bài cáo giữ một vai trò quan trọng trong phương diện lịch sử trong thời hiện đại khi thể loại cáo gần như đã dần thất truyền sau chế độ phong kiến tan rã. Thừa lệnh lãnh tụ Lê Lợi, Nguyễn Trãi viết Bình Ngô đại cáo vào đầu năm 1428 nhằm tuyên cáo nhân dân về chiến thắng vẻ vang của nghĩa quân Lam Sơn, khẳng định nền...