Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Xét (O) có
EA,EP là các tiếp tuyến
Do đó: EA=EP
Xét (O) có
FP,FB là các tiếp tuyến
Do đó: FP=FB
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB; OM là phân giác của góc AOB; MO là phân giác của góc AMB
CHu vi tam giác MEF là:
ME+EF+MF
=ME+EP+MF+PF
=ME+EA+MF+FB
=MA+MB
=2MA không đổi
b: Xét tứ giác OAEP có \(\hat{EAO}+\hat{EPO}=90^0+90^0=180^0\)
nên OAEP là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OEP}=\hat{OAP}=\hat{OAB}\)
=>\(\hat{OEF}=\hat{OAB}\)
OAEP là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{EOP}=\hat{EAP}=\hat{MAP}\)
Xét tứ giác OPFB có \(\hat{FBO}+\hat{FPO}=90^0+90^0=180^0\)
nên OPFB là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{POF}=\hat{PBF}\)
Xét (O) có \(\hat{EAP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AE và dây cung AP
=>\(\hat{EAP}=\frac12\cdot\hat{AOP}\)
Xét (O) có \(\hat{PBF}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BF và dây cung BP
Do đó: \(\hat{PBF}=\frac12\cdot\hat{POB}\)
Xét (O) có \(\hat{MAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AB
Do đó: \(\hat{MAB}=\frac12\cdot\hat{AOB}\)
\(\hat{EOF}=\hat{EOP}+\hat{FOP}=\hat{EAP}+\hat{PBF}\)
\(=\frac12\cdot\hat{AOP}+\frac12\cdot\hat{POB}=\frac12\cdot\hat{AOB}\)
\(=\hat{MAB}\)
M A C D B O K N E F H I
a/
Ta có A và B cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông => B và B thuộc đường tròn đường kính MO => A, B, M, O cùng nằm trên 1 đường tròn
b/
Ta có
\(C_{MCD}=MC+MD+CD=\left(MC+NC\right)+\left(MD+ND\right).\)
Ta có
MA = MB (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
NC=AC; ND = BD (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)
\(\Rightarrow C_{MCD}=\left(MC+AC\right)+\left(MD+BD\right)=MA+MB=2MA\)
M cố định; A cố định => MA không đổi \(\Rightarrow C_{MCD}=2MA\) không đổi => \(C_{MCD}\) không phụ thuộc vị trí điểm N
c/
Xét tg vuông NOC và tg vuông AOC có
OC chung
NC = AC (cmt)
\(\Rightarrow\Delta NOC=\Delta AOC\) (hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OCD}\) (1)
Gọi P là giao OC với (O) và Q là giao của OD với (O)
Ta có
sđ cung AP = sđ cung NP; sđ cung BQ = sđ cung NQ (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn chia đôi cung giới hạn bởi hai tiếp điểm)
=> sđ cung NP = 1/2 sđ cung AN; sđ cung NQ = 1/2 sđ cung BN
=> sđ cung NP + sđ cung NQ = sđ cung PQ = 1/2 sđ cung AN + 1/2 sđ cung BN = 1/2 sđ cung AB
\(\Rightarrow\widehat{COD}=sđ\) cung PQ = 1/2 sđ cung AB (góc ở tâm)
Ta có \(\widehat{CAB}=\)1/2 sđ cung AB (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) (2)
Xét tg CKA và tg ODC có
\(\widehat{OCA}=\widehat{OCD;}\widehat{CAB}=\widehat{COD}\) => tg CKA đồng dạng với tg ODC (g.g.g)
d/
Gọi I là giao của EF với MA
Xét tg OAB và tg OEF có
OA = OE; OB = OF (đều là bán kính (O))
\(\widehat{AOB}=\widehat{EOF}\) (góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta OAB=\Delta OEF\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{IEO}\) => AB // EF (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành 2 góc so le trong = nhau thì // với nhau)
Ta có \(MO\perp AB\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc với dây cung nối 2 tiếp điểm)
\(\Rightarrow MO\perp EF\) (đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng // với nhau thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại)
Xét \(\Delta MIE\) có
\(EA\perp MI;MO\perp EF\) => O là trực tâm của tg MIE => OH là đường cao thuộc cạnh ME => OH phải đi qua I => EF; MA; OH đồng quy tại I
- Xét hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) cắt nhau tại \(M\):
- Xét hai tiếp tuyến \(EA\) và \(EH\) cắt nhau tại \(E\):
- Xét hai tiếp tuyến \(FB\) và \(FH\) cắt nhau tại \(F\):
Chu vi của tam giác \(MEF\) được tính bằng tổng độ dài 3 cạnh:\(MA=MB\)
\(EA=EH\)
\(FB=FH\)
\(C_{\Delta MEF}=ME+EF+MF\)Ta có thể tách đoạn \(EF\) thành hai đoạn nhỏ tại tiếp điểm \(H\):
\(EF=EH+HF\)Thay \(EF\) vào công thức tính chu vi, ta được:
\(C_{\Delta MEF}=ME+(EH+HF)+MF\)
\(C_{\Delta MEF}=(ME+EH)+(HF+MF)\)Áp dụng tính chất tiếp tuyến bằng nhau đã nêu ở trên (\(EH = EA\) và \(HF = FB\)):
\(C_{\Delta MEF}=(ME+EA)+(FB+MF)\)Nhìn vào hình vẽ, ta thấy điểm \(E\) nằm giữa \(M\) và \(A\), điểm \(F\) nằm giữa \(M\) và \(B\). Do đó:
- \(ME + EA = MA\)
- \(MF + FB = MB\)
Thay các giá trị này vào biểu thức chu vi:\(C_{\Delta MEF}=MA+MB\)Vì \(MA = MB\), ta hoàn toàn có thể viết:
\(C_{\Delta MEF}=MA+MA=2MA\)
\(C_{\Delta MEF}=MB+MB=2MB\)Do đó, \(C_{\Delta MEF} = 2MA = 2MB\) (Điều phải chứng minh).
vẽ hình đi nx
- \(MA = MB\) (hai tiếp tuyến kẻ từ \(M\))
- \(EA = EH\) (hai tiếp tuyến kẻ từ \(E\))
- \(FB = FH\) (hai tiếp tuyến kẻ từ \(F\))
Chu vi của tam giác \(MEF\) được tính bằng tổng ba cạnh:\(P_{MEF}=ME+EF+MF\)Vì điểm \(H\) nằm trên đoạn \(EF\) (\(EF\) tiếp xúc với đường tròn tại \(H\)), ta có \(EF = EH + HF\). Thay vào công thức chu vi:
\(P_{MEF}=ME+(EH+HF)+MF\)Nhóm các đoạn thẳng lại theo hệ thức:
\(P_{MEF}=(ME+EH)+(HF+MF)\)Thay \(EH = EA\) và \(HF = FB\) vào biểu thức trên:
\(P_{MEF}=(ME+EA)+(FB+MF)\)Vì \(E\) nằm giữa \(M\) và \(A\), \(F\) nằm giữa \(M\) và \(B\), ta có \(ME + EA = MA\) và \(MF + FB = MB\):
\(P_{MEF}=MA+MB\)Mà theo chứng minh trên, \(MA = MB\), do đó:
\(P_{MEF}=MA+MA=2MA\)
\(P_{MEF}=MB+MB=2MB\)Kết luận: Chu vi tam giác \(MEF = 2MA = 2MB\) (Đpcm).