Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi 2 số cần tìm là a và b ( \(a,b\inℕ^∗\))
Theo bài, ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{4}{7}\)\(\Rightarrow\frac{a}{4}=\frac{b}{7}\)
Đặt \(\frac{a}{4}=\frac{b}{7}=k\left(k\inℕ^∗\right)\)\(\Rightarrow a=4k\); \(b=7k\)
Nếu lấy số thứ nhất chia cho 4, số thứ 2 chia cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai 2 đơn vị
\(\Rightarrow\)Ta có phương trình : \(\frac{7k}{5}-\frac{4k}{4}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{7k}{5}-k=2\)\(\Leftrightarrow\frac{7k}{5}-\frac{5k}{5}=\frac{10}{2}\)
\(\Leftrightarrow7k-5k=10\)\(\Leftrightarrow2k=10\)\(\Leftrightarrow k=5\)( thoả mãn ĐK )
\(\Rightarrow a=5.4=20\)và \(b=5.7=35\)
Vậy số bé là 20 và số lớn là 35
Gọi 2 số cần tìm là a và b ( \(a,b∈N∗a,b∈N∗\))
Theo bài, ta có: \(ab=47ba=74\)\(⇒a4=b7⇒4a=7b\)
Đặt \(a4=b7=k(k∈N∗)4a=7b=k(k∈N∗)\)\(⇒a=4k⇒a=4k\); \(b=7kb=7k\)
Nếu lấy số thứ nhất chia cho 4, số thứ 2 chia cho 5 thì thương thứ nhất bé hơn thương thứ hai 2 đơn vị
\(⇒⇒\)Ta có phương trình : \(7k5−4k4=257k−44k=2\)
\(⇔7k5−k=2⇔57k−k=2\)\(⇔7k5−5k5=102⇔57k−55k=210\)
\(⇔7k−5k=10⇔7k−5k=10\)\(⇔2k=10⇔2k=10\)\(⇔k=5⇔k=5\)( thoả mãn ĐK )
\(⇒a=5.4=20⇒a=5.4=20\)và \(b=5.7=35b=5.7=35\)
Vậy số bé là 20 và số lớn là 35
... mong kết bạn:v, hơi bất ngờ là dù giải lâu hơn hoặc sai nhưng bạn vẫn chọn o l m này v
ta có ý tưởng đặt ab+cd để phân tích
\(\left(ab\right)^2-\left(cd\right)^2=\left(ab+cd\right)\left(ab-cd\right)\)
mà \(a^2+ac-c^2=b^2+bd-d^2\)
\(\Rightarrow b^2=\left(a^2+ac-c^2\right)+d^2-bd\)
=> \(a^2b^2-c^2d^2=a^2\left\lbrack\left(a^2+ac-c^2\right)+d^2-bd\right\rbrack-c^2d^2\)
\(=a^2\left(a^2+ac-c^2\right)+a^2d^2-c^2d^2-a^2bd\)
\(=a^2\left(a^2+ac-c^2\right)+d^2\left(a^2-c^2\right)-a^2bd\)
\(=a^2\left(a^2+ac-c^2\right)+d^2\left(a^2+ac-c^2\right)-acd^2-a^2bd\)
\(=\left(a^2+d^2\right)\left(a^2+ac-c^2\right)-ad\left(cd+ab\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2d^2\right)+ad\left(cd+ab\right)=\left(a^2+d^2\right)\left(a^2+ac-c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ab-cd+ad\right)=\left(a^2+d^2\right)\left(a^2+ac-c^2\right)\)
giả sử ab+cd=p là số nguyên tố
=> \(\left(a^2+d^2\right)\) hoặc \(\left(a^2+ac-c^2\right)\) ⋮ p
\(\Rightarrow p\le\left(a^2+d^2\right)\) hoặc \(p\le\left(a^2+ac-c^2\right)\)
ta cần CM: \(p>a^2+d^2\) và \(p>a^2+ac-c^2\)
ta có: \(a^2+ac-c^2=b^2+bd-d^2\)
=> \(a^2-b^2-c^2+d^2+ac-bd=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)-\left(c-d\right)\left(c+d\right)+b\left(c-d\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+c\right)=\left(c-d\right)\left(c+d-b\right)\)
vì a>b>c>d=> c+d-b>0
lấy \(p-\left(a^2+ac-c^2\right)=\left(ab+cd\right)-\left(b^2+bd-d^2\right)\)
\(=b\left(a-b\right)+d\left(c+d-b\right)\)
vì a>b>c>d và a;b;c;d là các số nguyên dương
=> VP>0( mâu thuẫn)
vậy \(p>a^2+ac-c^2\)
lấy \(p-\left(a^2+d^2\right)=\left(ab+cd\right)-\left(a^2+d^2\right)=d\left(c-d\right)-a\left(a-b\right)\)
ta cần CM: \(d\left(c-d\right)>a\left(a-b\right)\)
<=> \(\frac{c-d}{a-b}>\frac{a}{d}\)
mà \(\frac{c-d}{a-b}=\frac{a+b+c}{c+d-b}\)
cần CM: \(\frac{a+b+c}{c+d-b}>\frac{a}{d}\)
<=> \(d\left(a+b+c\right)-a\left(c+d-b\right)=d\left(b+c\right)+a\left(b-c\right)\)
vì a>b>c>d => \(VT>0\)
=> \(d\left(c-d\right)-a\left(a-b\right)>0\)
=> \(p>a^2+d^2\) ( mâu thuẫn)
vậy p ko phải là số nguyên tố
Vì các số a, b, c, d là các số nguyên dương và có thứ tự từ lớn đến bé, nên hiệu của số a và số c là một số dương, hiệu của số b và số d cũng là một số dương. Từ đó, ta dễ dàng chứng minh được rằng biểu thức thứ nhất (tích của số a và số b cộng với tích của số c và số d) luôn có giá trị lớn hơn biểu thức thứ hai (tích của số a và số d cộng với tích của số b và số c).Đồng thời, biểu thức thứ nhất cũng có giá trị lớn hơn tích của hiệu số a và số d với hiệu của số b và số c.Vì biểu thức thứ nhất lớn hơn các thành phần còn lại trong đẳng thức tích, nên khi tích của biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai chia hết cho các thừa số bên vế phải, biểu thức thứ nhất không thể là một số nguyên tố được. Nó bắt buộc phải chia hết cho một ước số nguyên dương khác một và khác chính nó, tức là nó phải có các ước nguyên tố chung với các hiệu số ở vế phải.Do đó, biểu thức tích của số a và số b cộng với tích của số c và số d chắc chắn là một hợp số. Hay nói cách khác, nó không phải là số nguyên tố.
Biến đổi giả thiết đã cho về dạng:
$gx(a + b + c) = gy(c + d - b)$$a^2 - b^2 + ac - bd - c^2 + d^2 = 0$
$(a - b)(a + b + c) = (c - d)(b - c - d)$
Vì $a > b > c > d > 0$ nên ta viết lại thành:
$(a - b)(a + b + c) = (c - d)(c + d - b)$
Đặt $g = \gcd(a - b, c - d)$. Khi đó tồn tại các số nguyên dương $x, y$ nguyên tố cùng nhau sao cho:
$a - b = gx$
$c - d = gy$
Thay vào phương trình trên, ta được:
$x(a + b + c) = y(c + d - b)$
Vì $\gcd(x, y) = 1$, theo định lý Euclid, tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho:
$c + d - b = kx$
$a + b + c = ky$
Từ hệ phương trình trên, sau khi biểu diễn các ẩn theo $g, k, x, y$ và thay vào biểu thức $ab + cd$, ta thu được hằng đẳng thức:
$5(ab + cd) = (k^2 - gk - g^2)(x^2 + y^2)$
Tiến hành đánh giá các thừa số ở vế phải:
Vì $b > c$ nên $b - c > 0$, từ đó suy ra $k > 3g$. Do đó thừa số thứ nhất thỏa mãn:
$k^2 - gk - g^2 \ge (3g + 1)^2 - g(3g + 1) - g^2 = 5g^2 + 5g + 1 \ge 11 > 1$
Mặt khác, vì $x, y$ là các số nguyên dương nên thừa số thứ hai thỏa mãn:
$x^2 + y^2 \ge 2 > 1$
Như vậy, $ab + cd$ phân tích được thành tích của hai số nguyên lớn hơn 1, nên $ab + cd$ là hợp số hay $ab +cd$ không phải số nguyên tố
Vậy $ab + cd$ không phải số nguyên tố (đpcm).