a) Ta có:

sinB = AC/BC

Lại có:
AH^2 = BH·CH
AC^2 = CH·BC
AB^2 = BH·BC

Suy ra:

(AH + AC - HC)/(AB + BC - AC) = AC/BC = sinB

Vậy đpcm

b) Vì HD ∥ AC, HE ∥ AB nên:

S_HDE = 1/2·HD·HE

Ta có:

HD = AH·BH/AB
HE = AH·CH/AC

Suy ra:

S_HDE = AH^3/(2BC)

Mà:

S_ABC = AH·BC/2

Do đó:

S_ABC/S_HDE = BC^2/AH^2

= (BH + CH)^2/(BH·CH)

= BH/CH + CH/BH + 2

Vậy:

S_ABC = S_HDE(BH/CH + CH/BH + 2) đpcm

a, Xét các tam giác vuông \(\triangle ABC\) và \(\triangle AHC\)

Trong \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) :

\(\sin B = \frac{AC}{BC}\)

Trong \(\triangle AHC\) vuông tại \(H\) , góc \(\widehat{HAC} = \widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\) ):

\(\sin B=\sin\widehat{HAC}=\frac{HC}{AC}\quad\) và \(\quad\cos B=\cos\widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỷ số bằng nhau cho \(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{HC}{AC}\)

\(\sin B = \frac{AC - HC}{BC - AC}\)

Mặt khác, xét tỉ số giữa tử số và mẫu số của vế phải cần chứng minh:

Biến đổi tỉ số:

\(AH + AC - HC = AH + (AC - HC) = AC \cdot \cos B + AC \cdot \sin B - HC\)

Vì \(HC = AC \cdot \sin B\) , nên:

\(AH + AC - HC = AC \cdot \cos B\)

Biến đổi mẫu số:

\(AB + BC - AC = BC \cdot \cos B + BC - BC \cdot \sin B = BC(1 + \cos B - \sin B)\)

Cách khác ngắn gọn hơn bằng đại số, ta có vế phải:

\(VP = \frac{AH + AC - HC}{AB + BC - AC}\)

Thay \(AH=AC\cdot\cos B,HC=AC\cdot\sin B,AB=BC\cdot\cos B,AC=BC\cdot\sin B\) :

\(VP = \frac{AC \cdot \cos B + AC - AC \cdot \sin B}{BC \cdot \cos B + BC - BC \cdot \sin B} = \frac{AC(1 + \cos B - \sin B)}{BC(1 + \cos B - \sin B)} = \frac{AC}{BC}\)

Mà \(\frac{AC}{BC} = \sin B \Rightarrow VP = \sin B\) (dpcm)

b, Biến đổi biểu thức trong ngoặc:

\(\frac{BH}{CH} + \frac{CH}{BH} + 2 = \frac{BH^2 + CH^2 + 2 \cdot BH \cdot CH}{BH \cdot CH} = \frac{(BH + CH)^2}{BH \cdot CH} = \frac{BC^2}{AH^2}\)

( Do \(BH \cdot CH = AH^2\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông )

Chứng minh tứ giác \(ADHE\) là hình chữ nhật (có 3 góc vuông tại \(A, D, E\) ), suy ra \(DE = AH\)

Tứ giác \(ADHE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\) , góc \(\widehat{DHE} = 180^\circ - \widehat{A} = 90^\circ\) .

Diện tích \(S_{HDE} = \frac{1}{2} HD \cdot HE\)

Trong \(\triangle AHB\) vuông tại \(H\) có \(HD \perp AB \Rightarrow HD = \frac{AH \cdot BH}{AB}\)

Trong \(\triangle AHC\) vuông tại \(H\) có \(HE \perp AC \Rightarrow HE = \frac{AH \cdot CH}{AC}\)

\(\Longrightarrow\) \(S_{HDE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AH \cdot BH}{AB} \cdot \frac{AH \cdot CH}{AC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AH^2 \cdot (BH \cdot CH)}{AB \cdot AC}\)

Vì \(BH \cdot CH = AH^2\) và \(AB \cdot AC = AH \cdot BC\) :

\(S_{HDE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AH^4}{AH \cdot BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AH^3}{BC}\)

Tính vế phải của đẳng thức:

\(VP = S_{HDE} \cdot \frac{BC^2}{AH^2} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{AH^3}{BC}\right) \cdot \frac{BC^2}{AH^2} = \frac{1}{2} AH \cdot BC = S_{ABC}\)

Tính vế phải của đẳng thức:

\(VP = S_{HDE} \cdot \frac{BC^2}{AH^2} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{AH^3}{BC}\right) \cdot \frac{BC^2}{AH^2} = \frac{1}{2} AH \cdot BC = S_{ABC}\)

Vậy \(S_{ABC} = S_{HDE} \cdot \left(\frac{BH}{CH} + \frac{CH}{BH} + 2\right)\) (dpcm)