Câu hỏi của 🏅𝓣𝖍𝖚̉y✨𝓣𝖎ê𝖓⁀²ᵏ¹⁵

Question

Cho a,b>0. Chứng minh rằng:

a/b+b/a ≥2. ai đúng và đầu tiên mik tick cho

PhanTrần Cát Tiên · Accepted Answer

Để chứng minh $a/b + b/a \ge 2$ với $a, b > 0$, ta thực hiện biến đổi tương đương từng bước như sau:

Bắt đầu từ bất đẳng thức cần chứng minh:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$$

Quy đồng mẫu thức ở cánh trái (vì $a, b > 0$ nên $ab > 0$):

$$\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$$

Nhân cả hai vế cho $ab$ (do $ab > 0$, chiều bất đẳng thức không đổi):

$$a^2 + b^2 \ge 2ab$$

Chuyển $2ab$ sang vế trái:

$$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$$

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$(a - b)^2 \ge 0$$

Bất đẳng thức $(a - b)^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi số thực $a, b$.

Do các bước biến đổi trên là tương đương, bất đẳng thức ban đầu $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra: Khi và chỉ khi $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$.

(Lưu ý: Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$).

Câu trả lời:

Để chứng minh $a/b + b/a \ge 2$ với $a, b > 0$, ta thực hiện biến đổi tương đương từng bước như sau:

Bắt đầu từ bất đẳng thức cần chứng minh:

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$$

Quy đồng mẫu thức ở cánh trái (vì $a, b > 0$ nên $ab > 0$):

$$\frac{a^2 + b^2}{ab} \ge 2$$

Nhân cả hai vế cho $ab$ (do $ab > 0$, chiều bất đẳng thức không đổi):

$$a^2 + b^2 \ge 2ab$$

Chuyển $2ab$ sang vế trái:

$$a^2 - 2ab + b^2 \ge 0$$

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$(a - b)^2 \ge 0$$

Bất đẳng thức $(a - b)^2 \ge 0$ luôn đúng với mọi số thực $a, b$.

Do các bước biến đổi trên là tương đương, bất đẳng thức ban đầu $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra: Khi và chỉ khi $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b$.

(Lưu ý: Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$: $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2$).

Đặng Hà Ngân · Answer

Xét hiệu vế trái và vế phải:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a b} = \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{a b}$

Vì $a , b > 0$ nên: $a b > 0$, $\left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq 0$ với mọi $a , b$

Do đó:

$\frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{a b} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ (đpcm).

Câu trả lời:

Xét hiệu vế trái và vế phải:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^{2} + b^{2} - 2 a b}{a b} = \frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{a b}$

Vì $a , b > 0$ nên: $a b > 0$, $\left(\right. a - b \left.\right)^{2} \geq 0$ với mọi $a , b$

Do đó:

$\frac{\left(\right. a - b \left.\right)^{2}}{a b} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ (đpcm).

Doãn Hải Minh · Answer

Vì $a, b > 0$ nên $\frac{a}{b} > 0$ và $\frac{b}{a} > 0$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương$\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ ta có:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 \sqrt{1} = 2$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a^2 = b^2 \Leftrightarrow a = b$ (Do a,b>0)

Câu trả lời:

Vì $a, b > 0$ nên $\frac{a}{b} > 0$ và $\frac{b}{a} > 0$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương$\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ ta có:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2 \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 \sqrt{1} = 2$

Dấu "=" xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a^2 = b^2 \Leftrightarrow a = b$ (Do a,b>0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP