Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi \(A H \bot B C\) (\(H \in B C\)), tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\).
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H A C\)
Xét hai tam giác \(A B C\) và \(H A C\):
- \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\angle H = 90^{\circ}\).
- Vì \(H \in B C\) nên
\(\angle A C B = \angle H C A .\)
Suy ra hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau nên
\(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C .}\)b) Cho \(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm. Tính \(B C\) và \(A H\)
Tính \(B C\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Tính \(A H\)
Diện tích tam giác:
\(\frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} B C \cdot A H .\)Suy ra
\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{24}{5} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}.\)Kết quả:
\(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} .}\)c) Từ \(H\) kẻ \(H E \bot A C\) tại \(E\). Chứng minh \(H E^{2} = A E \cdot E C\)
Xét tam giác vuông \(A H C\) (vuông tại \(H\)).
Do \(H E \bot A C\), nên \(H E\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(A C\).
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C .}\)Đpcm.
d) Gọi \(I\) là trung điểm của \(A H\), \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Chứng minh
\(A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .\)Chứng minh
Từ câu (c):
\(E A \cdot E C = H E^{2} .\)Do \(E\) là hình chiếu của \(H\) trên \(A C\), \(I\) là trung điểm của \(A H\), đường thẳng \(E I\) cắt \(A B\) tại \(F\). Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi đường thẳng \(E I\) (hoặc sử dụng định lý Menelaus kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác vuông), ta có
\(F A \cdot F B = A H - H E^{2} .\)Thay \(H E^{2} = E A \cdot E C\) vào:
\(F A \cdot F B = A H - E A \cdot E C .\)Suy ra
\(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C .}\)Đpcm.
Kết quả
- a) \(\boxed{\triangle A B C sim \triangle H A C}\).
- b) \(\boxed{B C = 10 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; A H = \frac{24}{5} \&\text{nbsp};\text{cm} = 4 , 8 \&\text{nbsp};\text{cm}}\).
- c) \(\boxed{H E^{2} = A E \cdot E C}\).
- d) \(\boxed{A H = F A \cdot F B + E A \cdot E C}\).
Xét ∆ABM vuông tại M và ∆ACN vuông tại N, có:
AB=AC (do ∆ABC cân tại A)
góc A chung
=> ∆ABM=∆ACN (cạnh huyền-góc nhọn)
=> AM=AN (hai cạnh tương ứng)
AM=AN và AB=AC
=>\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) (định lí tha-lét đảo ∆ABC)
=> MN//BC
Xét ΔAMB vuông tại M và ΔANC vuông tại N có
AB=AC
\(\hat{MAB}\) chung
Do đó: ΔAMB=ΔANC
=>AM=AN
Xét ΔABC có \(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
nên MN//BC
Ta có: ΔABC cân tại A nên ∠ABC = ∠ACB
Vì BM ⟂ AC, CN ⟂ AB nên:
∠BMC = 90° và ∠BNC = 90°
Xét tứ giác BMNC:
∠BMC + ∠BNC = 180°
⇒ BMNC là tứ giác nội tiếp
Suy ra ∠BMN = ∠BCN (cùng chắn cung BN)
Mà BM ⟂ AC nên:
∠BMN = ∠ACB = ∠ABC
Do đó ∠BMN = ∠ABC
Hai góc này là góc đồng vị ⇒ MN // BC
Chứng minh \(\Delta BMC = \Delta CNB\)
Xét hai tam giác vuông \(\Delta BMC\) vuông tại M và \(\Delta CNB\) vuông tại N, có:
\(BC\) là cạnh chung
\(\widehat{MCB} = \widehat{NBC}\) ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
\(\Longrightarrow\Delta BMC=\Delta CNB\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
\(\Longrightarrow MC=NB\) ( 2 cạnh ứng )
Có \(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại A )
\(\Longrightarrow AB-NB=AC-MC\implies AN=AM\)
Vậy tam giác \(AMN\) cân tại A.
\(\Delta AMN\) cân tại A\(\Longrightarrow\widehat{AMN}=\frac{180^\circ- \widehat{A}}{2}\)
\(\Delta ABC\) cân tại A \(\Longrightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^\circ- \widehat{A}}{2}\)
\(\Longrightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)
Hai góc này ở vị trí đồng vị \(\Longrightarrow MN\parallel BC\) (dpcm)
report