Ta có:

A = (1 + 1/(1×3)) × (1 + 1/(2×4)) × ... × (1 + 1/(2017×2019)) × (1,08 − 2/25)

Với mỗi số n:

1 + 1/[n(n+2)]
= [n(n+2) + 1]/[n(n+2)]
= (n+1)²/[n(n+2)]

Suy ra:

A = 2²/(1×3) × 3²/(2×4) × ... × 2018²/(2017×2019) × (1,08 − 2/25)

Rút gọn:

A = (2×2018)/2019 × 1

= 4036/2019

Đáp số: A = 4036/2019. ✅

\(A = \left[\right. 1 + \frac{1}{1 \cdot 3} \left]\right. \cdot \left[\right. 1 + \frac{1}{2 \cdot 4} \left]\right. \cdot \ldots \cdot \left[\right. 1 + \frac{1}{2017 \cdot 2019} \left]\right. \cdot \left[\right. 1 , 08 - \frac{2}{25} \left]\right.\)

Bước 1: Rút gọn từng số hạng trong tích

Với mỗi số hạng tổng quát \(1 + \frac{1}{n \cdot \left(\right. n + 2 \left.\right)}\) (\(n\) là số tự nhiên từ 1 đến 2017):
\(1 + \frac{1}{n \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right) + 1}{n \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}{n \left(\right. n + 2 \left.\right)} = \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 2}\)

Bước 2: Tính tích các số hạng từ \(n = 1\) đến \(n = 2017\)

Gọi tích này là \(P\), ta tách thành 2 tích gọn:
\(P = \prod_{k = 1}^{2017} \left(\right. \frac{k + 1}{k} \cdot \frac{k + 1}{k + 2} \left.\right) = \left(\right. \prod_{k = 1}^{2017} \frac{k + 1}{k} \left.\right) \cdot \left(\right. \prod_{k = 1}^{2017} \frac{k + 1}{k + 2} \left.\right)\)

1. Tích thứ nhất: \(\prod_{k = 1}^{2017} \frac{k + 1}{k} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \ldots \cdot \frac{2018}{2017}\). Các số hạng trung gian triệt tiêu, còn lại \(\frac{2018}{1} = 2018\).
2. Tích thứ hai: Đặt \(m = k + 2\), khi \(k = 1\) thì \(m = 3\), \(k = 2017\) thì \(m = 2019\). Suy ra: \(\prod_{k = 1}^{2017} \frac{k + 1}{k + 2} = \prod_{m = 3}^{2019} \frac{m - 1}{m} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \ldots \cdot \frac{2018}{2019}\) Các số hạng trung gian triệt tiêu, còn lại \(\frac{2}{2019}\).

Kết hợp 2 tích:
\(P = 2018 \cdot \frac{2}{2019} = \frac{4036}{2019}\)

Bước 3: Rút gọn số hạng cuối cùng của biểu thức \(A\)

\(1 , 08 - \frac{2}{25} = \frac{108}{100} - \frac{2}{25} = \frac{27}{25} - \frac{2}{25} = \frac{25}{25} = 1\)

Bước 4: Tính giá trị cuối cùng của \(A\)

Vì số hạng cuối cùng bằng 1 nên:
\(A = P \cdot 1 = \frac{4036}{2019} \left(\right. \text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp};\text{vi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{d}ướ\text{i}\&\text{nbsp};\text{d}ạ\text{ng}\&\text{nbsp}; 2 - \frac{2}{2019} \&\text{nbsp};\text{n} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{mu} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{d}ạ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{\sim}{\hat{\text{o}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p} \left.\right)\)
Phân số \(\frac{4036}{2019}\) là dạng tối giản vì ước chung lớn nhất của 4036 và 2019 là 1.

thanks moi nguoi

Ta có: \(A=\left(1+\frac{1}{1\cdot3}\right)\left(1+\frac{1}{2\cdot4}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{2017\cdot2019}\right)\cdot\left(1,08-\frac{2}{25}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2^2-1}\right)\left(1+\frac{1}{3^2-1}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\frac{1}{2018^2-1}\right)\cdot\left(1,08-0,08\right)\)

\(=\frac{2^2-1+1}{2^2-1}\cdot\frac{3^2-1+1}{3^2-1}\cdot\ldots\cdot\frac{2018^2-1+1}{2018^2-1}\)

\(=\frac{2^2}{2^2-1}\cdot\frac{3^2}{3^2-1}\cdot\ldots\cdot\frac{2018^2}{2018^2-1}\)

\(=\frac{2^2}{1\cdot3}\cdot\frac{3^2}{2\cdot4}\cdot\ldots\cdot\frac{2018^2}{2017\cdot2019}\)

\(=\frac{2\cdot3\cdot\ldots\cdot2018}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2017}\cdot\frac{2\cdot3\cdot\ldots\cdot2018}{3\cdot4\cdot\ldots\cdot2019}=\frac{2018}{1}\cdot\frac{2}{2019}=\frac{4036}{2019}\)