Để so sánh $V$ và $U$, trước hết chúng ta cần rút gọn biểu thức của cả hai số.

1. Rút gọn $V$

Biểu thức được cho là:

Thực chất, nếu biểu thức ban đầu của bạn là $V = \frac{1}{2^{20} - 1}$ hay $V = \frac{1}{2^{20}} - 1$ thì giá trị của nó đều rất nhỏ (âm hoặc gần bằng $0$). Tuy nhiên, cấu trúc chuẩn của dạng toán này thường là tích hoặc phân thức. Giả sử biểu thức $V$ chuẩn theo dạng tính toán phân số, ta có $V = \frac{1}{2^{20}-1} \approx 9,5 \times 10^{-7}$ hoặc $V = \frac{1}{2^{20}} - 1 < 0$.

(Chúng ta hãy xem xét tiếp biểu thức $U$ bên dưới để thấy rõ quy luật so sánh quen thuộc của dạng toán này).

2. Rút gọn $U$

Xét biểu thức $U$:

Ta có thể viết lại tử số của $U$ gồm các số lẻ từ $1$ đến $39$:

Mẫu số gồm các số từ $21$ đến $40$:

Ta tách mẫu số thành hai phần: các thừa số chẵn và các thừa số lẻ:

• Các thừa số lẻ ở mẫu: $21 \cdot 23 \cdot 25 \cdots 39$
• Các thừa số chẵn ở mẫu: $22 \cdot 24 \cdot 26 \cdots 40$

Khi đó, ta đem tử số chia bớt cho phần thừa số lẻ ở mẫu ($21$ đến $39$):

Giản ước các thừa số lẻ chung ở cả tử và mẫu:

Bây giờ, ta xét mẫu số mới. Mỗi thừa số ở mẫu đều có dạng $2k$ (với $k$ đi từ $11$ đến $20$, tổng cộng có $10$ thừa số):

Thay vào biểu thức của $U$:

Nhân cả tử và mẫu với tập hợp các số từ $1$ đến $10$ để làm xuất hiện giai thừa:

• Tử số nhân thêm: $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 20 = 2^{10} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 10) = 2^{10} \cdot 10!$
• Do đó:$$U = \frac{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 19) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots 20)}{2^{10} \cdot (11 \cdot 12 \cdots 20) \cdot (2 \cdot 4 \cdots 20)}$$

Sau khi rút gọn và biến đổi giai thừa, ta nhận được giá trị gọn của $U$:

3. Kết luận so sánh $V$ và $U$

• Nếu $V = \frac{1}{2^{20}} - 1$:
  Vì $U = \frac{1}{2^{20}}$ nên $V = U - 1$, do đó $V < U$.
• Nếu đề bài của $V$ là $V = \frac{1}{2^{20} - 1}$:
  Ta có $2^{20} - 1 < 2^{20}$, suy ra $\frac{1}{2^{20} - 1} > \frac{1}{2^{20}}$, do đó $V > U$. đúng thì tick

$U = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 39}{21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot \dots \cdot 40}$

$U = \frac{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot 39) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 40)}{(21 \cdot 22 \cdot 23 \cdot \dots \cdot 40) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 40)}$

$U = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 39 \cdot 40}{(21 \cdot 22 \cdot \dots \cdot 40) \cdot 2^{20} \cdot (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 20)}$

$U = \frac{(1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 20) \cdot (21 \cdot 22 \cdot \dots \cdot 40)}{(21 \cdot 22 \cdot \dots \cdot 40) \cdot 2^{20} \cdot (1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 20)}$

$U = \frac{1}{2^{20}}$

$V = \frac{1}{2^{20}} - 1$

$\Rightarrow V = U - 1$

$\Rightarrow V < U$

V>U

Phạm Trần Cát TIên không dùng Al để làm bài vì bạn không hiểu được em nhé!