Bài 3

Bài giải

Đặt 2^x + 3^y + 4 = n², n ∈ N*.

TH1: x ≥ 3.

Xét modulo 8:

• Nếu y lẻ: n² ≡ 3 + 4 ≡ 7 (mod 8), vô lý.
• Nếu y chẵn: n² ≡ 1 + 4 ≡ 5 (mod 8), vô lý.

Vậy x ≤ 2.

TH2: x = 1.

Ta có n² = 3^y + 6.

Nếu y ≥ 2 thì n² ≡ 0 (mod 3), suy ra 3 | n. Khi đó 9 | n² nhưng 3^y + 6 không chia hết cho 9 nếu y ≥ 2? Cần kiểm tra: với y≥2, 3^y + 6 chia hết cho 3 nhưng với y=2 thì bằng 15 không chia hết 9; y≥2 thì 3^y chia hết 9, nên tổng ≡ 6 (mod 9), vô lý.

Do đó y = 1.

Suy ra 2 + 3 + 4 = 9 = 3².

TH3: x = 2.

n² = 3^y + 8.

Nếu y lẻ thì n² ≡ 3 (mod 8), vô lý. Vậy y chẵn, đặt y = 2k.

Khi đó:

n² − 3^(2k) = 8

⇒ (n − 3^k)(n + 3^k) = 8.

Hai thừa số dương nên phải là 2 và 4, suy ra 3^k = 1 ⇒ k = 0 ⇒ y = 0, trái giả thiết.

Vậy không có nghiệm.

Kết luận: nghiệm duy nhất là

(x, y) = (1, 1).

Bài 4

Bài giải

Đặt:

2^x × 5^y + 4 = n², với n ∈ N.

TH1: x = 0.

Ta có:

5^y + 4 = n²

⇒ (n − 2)(n + 2) = 5^y.

Hai thừa số hơn kém nhau 4. Vì chúng đều là lũy thừa của 5 nên chỉ có thể là 1 và 5.

Suy ra n = 3, y = 1.

⇒ (x, y) = (0, 1).

TH2: x = 1.

n² = 2 × 5^y + 4.

Vế phải chia hết cho 2 nên n chẵn. Đặt n = 2k:

2k² = 5^y + 2.

Vế trái chẵn, vế phải lẻ, vô lý.

Vậy không có nghiệm.

TH3: x ≥ 2.

Đặt n = 2k, ta được:

4k² = 2^x × 5^y + 4

⇒ (k − 1)(k + 1) = 2^(x−2) × 5^y. (1)

Nếu y = 0, từ (1) suy ra hai số k − 1, k + 1 chỉ có thừa số nguyên tố 2. Do chúng hơn kém nhau 2 nên:

k − 1 = 2, k + 1 = 4

⇒ k = 3 ⇒ 2^(x−2) = 8 ⇒ x = 5.

Suy ra (x, y) = (5, 0).

Nếu y > 0, từ (1) và gcd(k − 1, k + 1) ≤ 2, một trong hai số phải chứa thừa số 5. Do chúng cách nhau 2, ta xét:

k − 1 = 2^a, k + 1 = 2 × 5^y.

Suy ra:

2 × 5^y − 2^a = 2

⇒ 5^y − 1 = 2^(a−1).

Vì 5^y − 1 = (5 − 1)(5^(y−1) + ... + 1), để là lũy thừa của 2 thì y = 1.

Khi đó:

5 − 1 = 2^(a−1)

⇒ a = 3.

Suy ra:

k − 1 = 8, k + 1 = 10 ⇒ k = 9.

Do đó:

2^(x−2) × 5 = 8 × 10 = 80

⇒ 2^(x−2) = 16 ⇒ x = 6.

Suy ra (x, y) = (6, 1).

Vậy các nghiệm là:

(x, y) = (0, 1), (5, 0), (6, 1).

Bài 3

Ta có:

\(2x + 3y + 4\) là số chính phương

Đặt:

\(2x + 3y + 4 = n²\)

Suy ra:

\(2x + 3y = n² - 4\)

\(2x = n² - 3y - 4\)

\(x=\frac{(n^2-3y-4)}{2}\)

Vì x, y là số tự nhiên nên:

\(n² - 3y - 4 ≥ 0\)

Vậy:

\(x=\frac{(n^2-3y-4)}{2}\)

Bài 4

Ta có:

\(2x + 5y + 4\) là số chính phương

Đặt:

\(2x + 5y + 4 = n²\)

Suy ra:

\(2x + 5y = n² - 4\)

\(2x = n² - 5y - 4\)

\(x=\frac{(n^2-5y-4)}{2}\)

Vì x, y là số tự nhiên nên:

\(n² - 5y - 4 ≥ 0\)

Vậy:

\(x=\frac{(n^2-5y-4)}{2}\)

Sửa lại

Bài 3

Ta có:

2x + 3y + 4 = n²

⇒ 2x = n² - 3y - 4

⇒ x = (n² - 3y - 4)/2

Vì x > 0, y > 0 nên:

n ≥ 3

1 ≤ y ≤ (n² - 6)/3

Để x là số nguyên thì n và y phải cùng tính chẵn lẻ.

Vậy tất cả nghiệm là:

(x,y) = ((n² - 3y - 4)/2, y)

với n ≥ 3, y ≥ 1, y ≤ (n² - 6)/3 và n, y cùng tính chẵn lẻ.

Bài 4

Ta có:

2x + 5y + 4 = n²

⇒ 2x = n² - 5y - 4

\(⇒ x = (n² - 5y - 4)/2\)

Vì x, y là số tự nhiên nên:

n ≥ 2

0 ≤ y ≤ (n² - 4)/5

Để x là số nguyên thì n và y phải cùng tính chẵn lẻ.

Vậy tất cả nghiệm là:

(x,y) = ((n² - 5y - 4)/2, y)

với n ≥ 2, y ≥ 0, y ≤ (n² - 4)/5 và n, y cùng tính chẵn lẻ.

3, Tìm các số nguyên dương \(\left(x;y\right)\) sao cho\(2^{x}+3^{y}+4=k^2\left(k\in\mathbb{Z}^{+}\right)\)

Xét mod 3: \(k^2\equiv2^{x}+3^{y}+4\equiv(-1)^{x}+1\pmod3\)

Do số chính phương khi chia 3 chỉ có thể dư \(0\) hoặc \(1\), nên \((-1)^x + 1\) không thể bằng \(2\) . Suy ra \(x\) phải là số lẻ.

Xét \(x=1\):

\(2+3^{y}+4=k^2\iff3^{y}+6=k^2\iff3(3^{y-1}+2)=k^2\)

Nếu \(y=1\): \(3(1 + 2) = 9 = 3^2\) (tm)

Nếu \(y \ge 2\): \(3^{y-1}+2\equiv2\pmod3\) ( k chia hết cho 3 ). Khi đó \(v_3(3^y+6) = 1\), không thể là số chính phương.

Xét \(x \ge 3\) ( số lẻ )

\(\) Vì \(x \ge 3\) nên \(2^{x}\vdots8\)

Xét mod 4: \(k^2\equiv2^{x}+3^{y}+4\equiv(-1)^{y}\pmod4\implies y\) phải là số cặp (đặt \(y = 2n\))

Xét mod 8: \(k^2=2^{x}+3^{2n}+4\equiv0+9^{n}+4\equiv1+4=5\pmod8\)

Điều này vô lý vì một số chính phương khi chia cho \(8\) chỉ có thể dư \(0\) , \(1\) hoặc \(4\) .

Vậy cặp số nguyên dương duy nhất là \((x, y) = (1, 1)\)

bài 3:

đặt \(2^{x}+3^{y}+4=k^2\) (k ∈ \(Z^{+}\) )

ta có \(3^{y}\) ≡ 0( mod 3 ) và 4 ≡ 1 ( mod 3 )

=> \(k^2\) ≡\(2^{x}+1\) (mod 3)

một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 1 và 0

với x là số chẵn => \(2^{x}\equiv\left(-1\right)^{x}\equiv1\) (mod 3)

=> \(k^2\equiv1+1\equiv2\) (mod 3) ( vô lí)

với x là số lẻ => \(2^{x}\equiv-1\) (mod 3)

=> \(k^2\equiv0\) (mod 3) (TM)

đặt k=3m(m ∈ \(Z^{+}\) )

thử với các giá trị nguyên nhỏ ta tìm dc x=1;y=1

giả sử \(:x\ge2\Rightarrow x\ge3\)

=> \(2^{x}\equiv0\) (mod 4)

\(k^2\equiv3^{y}\equiv-1^{y}\) (mod 4)

một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có dư là 1 hoặc 0

=> \(\left(-1\right)^{y}\equiv1\) (mod 4)

=> y là số chẵn

đặt y=2n

ta có: \(2^{x}+3^{y}+4=k^2\Rightarrow2^{x}+4=k^2-3^{y}\)

=> \(4\left(2^{x-2}+1\right)=k^2-3^{2n}=\left(k^{}-3^{n}\right)\left(k^{}+3^{n}\right)\)

nhận thấy \(\left(k^{}+3^{n}\right)-\left(k-3^{n}\right)=2\cdot3^{n}\) là một số chẵn nên \(k+3^{n}\) và \(k-3^{n}\) phải cùng tính chẵn lẻ

mà tích là số chẵn nên nhân tử cx phải là số chẵn

đặt

đặt \(k-3^{n}=2u\) và \(k+3^{n}=2v\) (u<v)

=> \(v-u=3^{n}\)

\(u\cdot v=2^{x+1}+1\)

vì \(x\ge3\Rightarrow2^{x+1}+1\) là số lẻ

=> u.v là số lẻ => u;v là số lẻ

nhưng nếu u;v là số lẻ thì v-u phải là số chẵn

vậy phương trình không có nghiệm khi \(x\ge2\)

vậy (x;y) =(1;1)

bài 4:

giả sử \(2^{x}\cdot5^{y}+4=k^2\) (k ∈ N)

\(\Rightarrow2^{x}\cdot5^{y}=\left(k-2\right)\left(k+2\right)\)

đặt A=k-2 và B=k+2=>B-A=4 nên A và B cùng tính chẵn lẻ

với x=0

=> \(5^{y}+4=k^2\Rightarrow5^{y}=\left(k-2\right)\left(k+2\right)\)

vì gcd(A,B)=gcd(A,B-A)=gcd(A,4)

vì A lẻ nên gcd(A,B)=1

=> \(A=1\) và B= \(5^{y}\) => \(5^{y}-1=4\) => \(5^{y}=5\Rightarrow y=1\)

ta có một cặp nghiệm (x,y)=(0,1)

với x=1

<=> \(2\cdot5^{y}+4=k^2\)

vì \(5^{y}\) \(\equiv\) 1(mod 4)=> \(2\cdot5^{y}+4\equiv6\equiv2\) (mod 4)

vì số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể là 0;1 nên vô lí

với \(x\ge2\)

tích \(A\cdot B=2^{x}\cdot5^{y}\) là số chẵn ; vì A, B cùng tính chẵn lẻ nên cả hai đều phải chẵn

đặt A=2u và B=2v ta có:

v-u=2

u.v= \(2^{x-2}\cdot5^{y}\)

do v-u=2 nên u và v cùng tính chẵn lẻ

nếu u,v cùng lẻ:

=> u.v là số lẻ nên phương trình không chứa thừa số 2

=> x-2=0=>x=2

lúc này: \(u\cdot v=5^{y}\)

vì gcd(u,v)=gcd(u,v-u)=gcd(u,2)=1

=> u=1 và \(v=5^{y}\)

=> \(5^{y}-1=2\Rightarrow5^{y}=3\) ( vô nghiệm)

nếu u,v cùng chẵn: đặt u=2m và v=2n

=> \(n-m=1\)

nên m,n nguyên tố cùng nhau

\(u\cdot v=4mn=2^{x-2}\cdot5^{y}\Rightarrow mn=2^{x-4}\cdot5^{y}\) (đk: \(x\ge4\) )

=> \(\left\vert2^{x-4}-5^{y}\right\vert=1\)

đặt a=x-4

TH1: \(2^{a}-5^{y}=1\) (\(a\ge0\) )

=> \(2^{a}=1+5^{y}\)

nếu y=0=> \(2^{a}=2\Rightarrow a=1\Rightarrow x=5\)