Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB = 3cm , AC= 4cm và BC = 5cm.
a) Tam giác ABC là tam giác gì?Vì sao?
b)Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA=BD.Từ D vẽ Dx vuông góc với BC và cắt AC tại H.Chứng minh BH là tia phân giác góc ABC.
c)Vẽ trung tuyến AM.Chứng minh tam giác AMC cân
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.Biết AH= 4cm,HB= 2cm,HC= 8cm
a) Tính độ dài các cạnh AB,AC
b) Chứng minh góc B > góc C
Bài 3 : Cho góc xOy có Oz là tia phân giác,M là điểm bất kì thuộc tia Oz.Qua M kẻ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B cắt tia Ox tại D.
a) Chứng minh tam giác AOM = tam giác BOM từ đó suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB
b) Tam giác DMC là tam giác gì?Vì sao?
c) Chứng minh DM + AM < AC
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại C có góc A= 60 độ,phân giác của góc BAC cắt BC tại E.Kẻ EK vuông góc AB tại K (K thuộc A).Kẻ BD vuông góc AE tại D (D thuộc AE).Chứng minh
a) Tam giác ACE = tam giác AKE
b) AE là đường trung trực của đoạn thẳng CK
c) KA = KB
d) EB > EC
Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD=BA.
a) Chứng minh góc BAD = góc BDA
b) Chứng minh AD là tia phân giác của góc HAC
c) Vẽ DK vuông góc AC.Chứng minh AK = AH
d) Chứng minh AB + AC < BC + AH
Bài 6 : Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC= 10cm.Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC,đường trung trực của đoạn thẳng BC cắt cạnh AC tại M. Gọi D là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BM.Chứng minh rằng :
a) Tam giác ABC vuông tại A
b) AB = DC
c) Ba đường thẳng AB , MK ,CD cùng đi qua một điểm
Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC. Trên cạnh huyền BC lấy điểm K sao cho CK = CA.Vẽ CM vuông góc AK tại M.Vẽ AD vuông góc BC tại D.AD cắt CM tại H.Chứng minh:
a) Tam giác MCK = tam giác MCA
b) HK // AB
c) HD < HA
Để chứng minh $OI \perp BC$, ta sử dụng phương pháp dựng hình phụ kết hợp tính toán góc dựa trên các tính chất của tâm đường tròn nội tiếp.
Bài giải:
Bước 1: Gọi điểm phụ và xác định các tính chất góc
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên cạnh $BC$ ($OH \perp BC$). Ta gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$, khi đó $OH = r$.
Trong $\triangle AOB$, vì $O$ là giao điểm ba đường phân giác trong nên:
$$\widehat{AOB} = 180^\circ - \left(\frac{\widehat{A}}{2} + \frac{\widehat{B}}{2}\right) = 90^\circ + \frac{\widehat{C}}{2} > 90^\circ$$Do $\widehat{AOB}$ là góc tù, chân đường vuông góc $M$ kẻ từ $A$ đến $BO$ sẽ nằm trên tia đối của tia $OB$.
Xét tam giác vuông $AMO$ (vuông tại $M$):
Bước 2: Biểu diễn đoạn $OM$ theo bán kính $r$
Kẻ $OE \perp AC$ ($E \in AC$), ta có $OE = r$.
Trong tam giác vuông $AEO$ (vuông tại $E$):
$$OA = \frac{OE}{\sin\widehat{OAE}} = \frac{r}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}}$$Thế $OA$ vào công thức tính $OM$, ta được:
$$OM = \frac{r \cdot \sin\frac{\widehat{C}}{2}}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}}$$Bước 3: Tính góc $\widehat{OHM}$
Xét tam giác vuông $OBH$ (vuông tại $H$), ta có $\widehat{BOH} = 90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}$.
Vì tia $OM$ là tia đối của tia $OB$, góc $\widehat{MOH}$ bù với góc $\widehat{BOH}$:
$$\widehat{MOH} = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\widehat{B}}{2}\right) = 90^\circ + \frac{\widehat{B}}{2}$$Kẻ $MK \perp OH$ tại $K$ ($K$ thuộc đường thẳng $OH$). Xét tam giác vuông $OKM$ (vuông tại $K$):
Vì $\widehat{MOH} > 90^\circ$ nên $O$ nằm giữa $K$ và $H$. Độ dài đoạn $KH$ là:
$$KH = KO + OH = OM \cdot \sin\frac{\widehat{B}}{2} + r = \frac{r}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}} \left( \sin\frac{\widehat{A}}{2} + \sin\frac{\widehat{B}}{2} \sin\frac{\widehat{C}}{2} \right)$$Mặt khác, do $\frac{\widehat{A}}{2} = 90^\circ - \frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2}$, áp dụng công thức cộng lượng giác:
$$\sin\frac{\widehat{A}}{2} = \cos\frac{\widehat{B} + \widehat{C}}{2} = \cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}\sin\frac{\widehat{C}}{2}$$$$\Rightarrow \sin\frac{\widehat{A}}{2} + \sin\frac{\widehat{B}}{2} \sin\frac{\widehat{C}}{2} = \cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2}$$Thay vào biểu thức của $KH$ và $MK$, ta có:
$$KH = \frac{r \cdot \cos\frac{\widehat{B}}{2}\cos\frac{\widehat{C}}{2}}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}} \quad \text{và} \quad MK = \frac{r \cdot \sin\frac{\widehat{C}}{2}\cos\frac{\widehat{B}}{2}}{\sin\frac{\widehat{A}}{2}}$$Trong tam giác vuông $MHK$ (vuông tại $K$):
$$\tan\widehat{OHM} = \tan\widehat{KHM} = \frac{MK}{KH} = \frac{\sin\frac{\widehat{C}}{2}}{\cos\frac{\widehat{C}}{2}} = \tan\frac{\widehat{C}}{2}$$$$\Rightarrow \widehat{OHM} = \frac{\widehat{C}}{2}$$Bước 4: Kết luận $I \equiv H$ và $OI \perp BC$
Gọi
Đúng(0)
Gọi $X$ là giao điểm của $MH$ với tia $CO$. Trong $\triangle XHC$:
Tổng hai góc nhọn trong $\triangle XHC$:
$$\widehat{XHC} + \widehat{XCH} = \left(90^\circ - \frac{\widehat{C}}{2}\right) + \frac{\widehat{C}}{2} = 90^\circ \implies MH \perp CO$$Do đường thẳng qua $M$ vuông góc với $CO$ là duy nhất và cắt $BC$ tại $I$, nên điểm $I$ phải trùng với điểm $H$.
Vì $OH \perp BC$ và $I \equiv H$, suy ra $OI \perp BC$ (điều phải chứng minh).