Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
$\left ( a+b\sqrt{2} \right )^{1994}+\left ( c+d\sqrt{2} \right )^{1994}= 5+4\sqrt{2}$ - Đại số - Diễn đàn Toán học
Ta có : \(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)(thay từ giả thiết)
Tương tự : \(b^2+1=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\); \(c^2+1=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\)
Suy ra : \(Q=\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(c+a\right)^2}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)Vì a,b,c là các số hữu tỉ nên suy ra Q là số hữu tỉ.
thay 1 bởi ab+bc+ca
ta có :
Q=\(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+Ca\right)\left(b^2+bc+ab+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)
ta thấy : \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
\(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
\(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
=> Q=\(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)là số hữu tỉ vì a,b,c là các số hữu tỉ
Ta có \(1+a^2=ab+bc+ca+a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right).\) Chứng minh tương tự ta cũng có
\(1+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right),1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right).\)
Suy ra \(\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\) là một số hữu tỉ. (ĐCPM)
ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2025}+\sqrt{2026}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{\left(\sqrt{2026}-\sqrt{2025}\right)}{\left(\sqrt{2026}+\sqrt{2025}\right)\left(\sqrt{2026}-\sqrt{2025}\right)}\)
\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}+...+\sqrt{2026}-\sqrt{2025}\)
\(=-\sqrt{2}+\sqrt{2026}\)
Ko tồn tại nhé.
Khai triển VT: (a + b^2026)^2 ... à nhầm, ý là (a + bsqrt(2026))^2 = (a^2 + 2026b^2) + 2absqrt(2026).
Đồng nhất hệ số với VP:
Thay b = 1013/a vào pt dưới ra pt bậc 4 theo a. Tính delta thấy ko phải số chính phương nên ko có nghiệm hữu tỉ.
Giả sử tồn tại $a, b \in \mathbb{Q}$, khai triển phương trình ta được:
$$a^2 + 2026b^2 + 2ab\sqrt{2026} = 2027 + 2026\sqrt{2026}$$Đồng nhất hệ số hữu tỉ và vô tỉ:
Thay vào (1) ta được phương trình ẩn $a^2$:
$$a^4 - 2027a^2 + 2026 \cdot 1013^2 = 0$$Vì $\Delta < 0$, phương trình vô nghiệm.
Kết luận: No tồn tại.:))