Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a
=>(n+2)=5 :.n+2
=>5:. n+2
=>n+2 E (1,5)
th1
N+2=1
th2 tựlamf
\(P=xy-3\left(x+y\right)+9\)
Đặt \(x+y=a\Rightarrow1< a\le\sqrt{2}\)
\(a^2=x^2+y^2+2xy=1+2xy\Rightarrow xy=\frac{a^2-1}{2}\)
\(P=\frac{a^2-1}{2}-3a+9\Rightarrow2P=a^2-6a+17\)
\(2P=a^2-6a-2+6\sqrt{2}+19-6\sqrt{2}\)
\(2P=\left(a+\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{2}\right)-6\left(a-\sqrt{2}\right)+19-6\sqrt{2}\)
\(2P=\left(\sqrt{2}-a\right)\left(6-\sqrt{2}-a\right)+19-6\sqrt{2}\ge19-6\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{19-6\sqrt{2}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=\sqrt{2}\) hay \(x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)^2-3xy\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2}{t+3}\)
Lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow t^2\ge\frac{4t^2}{t+3}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(\frac{t-1}{t+3}\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge1\\t< -3\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{x^3+y^3}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)xy}{\left(xy\right)^3}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\)
\(A=\left(\frac{t\left(t+3\right)}{t^2}\right)^2=\left(\frac{t+3}{t}\right)^2=\left(1+\frac{3}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow y'=-\frac{6\left(t+3\right)}{t^3}< 0\) \(\forall t\ge1;t< -3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^2=1\Rightarrow A_{max}=A\left(1\right)=16\)
\(\Rightarrow M=16\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(logu_1+\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}=2logu_{10}\)
\(\Leftrightarrow logu_1-2logu_{10}+\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-2+t=0\)(\(t=\sqrt{2+logu_1-2logu_{10}}\ge0\))
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2+logu_1-2logu_{10}=1\)
\(\Leftrightarrow2+logu_1-2log\left(2^9u_1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow log\left(10u_1\right)=log\left(2^9u_1\right)^2\)
\(\Rightarrow10u_1=2^{18}u_1^2\)
\(\Leftrightarrow u_1=\frac{10}{2^{18}}\).
\(u_n=\frac{2^{n-1}.10}{2^{18}}>5^{100}\Leftrightarrow n>log_2\left(\frac{5^{100}.2^{19}}{10}\right)=-log_210+100log_25+19\)
Suy ra \(n\ge248\).
\((12^{n-1}-1)\ \vdots \ n\)Điều này tương đương với đồng dư thức:
\(12^{n-1}\equiv 1\mathinner{\;\left(\mod \,n\right)}\)2. Xét các tính chất của \(n\)
- Tính chẵn lẻ:
- Ước nguyên tố nhỏ nhất:
- \((n-1) \vdots d\)
- \((p-1) \vdots d\)
3. Thử giá trị \(n\) nhỏ nhấtVì \(p=11\) là ước nguyên tố nhỏ nhất của \(n\), nên số tự nhiên \(n > 1\) nhỏ nhất có thể chọn chính là \(n = 11\).Ta kiểm tra lại với \(n = 11\):Nếu \(n\) là số chẵn (\(n \vdots 2\)), thì \(12^{n-1}\) luôn là một số chẵn (vì \(n > 1 \Rightarrow n-1 \ge 1\)).
Khi đó, \(12^{n-1} - 1\) sẽ là một số lẻ. Một số lẻ không bao giờ chia hết cho một số chẵn \(n\).
\(\Rightarrow n\) bắt buộc phải là số lẻ.
Gọi \(p\) là ước nguyên tố nhỏ nhất của \(n\). Do \(n\) lẻ nên \(p \ge 3\).
Vì \(n \vdots p\), từ giả thiết ta có:
\(12^{n-1}\equiv 1\mathinner{\;\left(\mod \,p\right)}\)Theo định lý Fermat nhỏ, ta cũng có:
\(12^{p-1}\equiv 1\mathinner{\;\left(\mod \,p\right)}\quad (\text{vi\ }p\nmid 12)\)Gọi \(d = \text{ord}_p(12)\) là cấp của \(12\) theo modulo \(p\). Khi đó:
Suy ra \(d\) là ước chung của \(n-1\) và \(p-1\).
Do \(p\) là ước nguyên tố nhỏ nhất của \(n\), nên các ước của \(n\) (ngoại trừ 1) đều lớn hơn hoặc bằng \(p\). Từ đó suy ra \(\text{UCLN}(n, p-1) = 1\).
Vì \(d\) là ước của \(p-1\) nên \(\text{UCLN}(n, d) = 1\).
Mặt khác, \(d\) lại là ước của \(n-1\). Số duy nhất vừa là ước của \(n-1\) vừa nguyên tố cùng nhau với \(n\) trong trường hợp này là \(d = 1\) (do các ước nguyên tố của \(d\) phải nhỏ hơn \(p\), nên không thể chia hết cho \(n\)).Với \(d = 1\), ta có:
\(12^{1}\equiv 1\mathinner{\;\left(\mod \,p\right)}\Rightarrow 11\vdots p\)Vì \(p\) là số nguyên tố nên bắt buộc \(p = 11\).
- \(n - 1 = 10\)
- Xét hiệu: \(12^{10} - 1\)
- Theo định lý Fermat nhỏ, vì \(11\) là số nguyên tố và \(\text{UCLN}(12, 11) = 1\), ta luôn có:
Vậy giá trị \(n\) nhỏ nhất cần tìm là \(11\).Đáp án cuối cùng của bài toán là n = 11.\(12^{10}\equiv 1\mathinner{\;\left(\mod \,11\right)}\Rightarrow (12^{10}-1)\ \vdots \ 11\)