Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(pt\left(1\right)\Rightarrow x>0;\text{ }pt\left(2\right)\Rightarrow y>0\)
\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+2=3xy^2;\text{ }pt\left(2\right)\Leftrightarrow y^2+2=3x^2y\)
\(\Rightarrow x^2+2-\left(y^2+2\right)=3xy^2-3x^2y\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+3xy\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+3xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\text{ (do }x+y+3xy>0\text{)}\)
Thay .....
\(x^2+2=3x^3\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x^2+2x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x-1=0\text{ hoặc }3x^2+2x+2=0\text{ (vô nghiệm)}\)
\(\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Kết luận: (x;y) = (1;1).
A B C D
1) Gọi AE là tia phân giác góc ngoài của tam giác tại A (E thuộc BC)
Ta có : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=S_{ABD}+S_{ACĐ}=\frac{1}{2}AB.AD.sin45+\frac{1}{2}AC.AD.sin45\)
\(\Rightarrow AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(AB+AC\right).AD\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)
A B D C E
a/ \(S_{ABD}=\frac{1}{2}AB.AD.sin\widehat{BAD}=AB.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(S_{ACD}=\frac{1}{2}AC.AD.sin\widehat{CAD}=AC.AD.\frac{\sqrt{2}}{4}\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC\)
Suy ra : \(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{4}AD.\left(AB+AC\right)\Rightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)
b/ Tương tự
a) Chứng minh
\(\frac{2 cos \frac{A}{2}}{A D} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} .\)
Chứng minh:
Theo công thức độ dài đường phân giác trong của tam giác:
\(A D = \frac{2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos \frac{A}{2}}{A B + A C} .\)
Suy ra
\(\frac{1}{A D} = \frac{A B + A C}{2 A B \cdot A C cos \frac{A}{2}} .\)
Nhân hai vế với \(2 cos \frac{A}{2}\), ta được
\(\frac{2 cos \frac{A}{2}}{A D} = \frac{A B + A C}{A B \cdot A C} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} .\)
Vậy
\(\boxed{\frac{2 cos \frac{A}{2}}{A D} = \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} .}\)
b) Chứng minh
\(\frac{1}{A B} + \frac{1}{B C} + \frac{1}{C A} < \frac{1}{A D} + \frac{1}{B E} + \frac{1}{C F} .\)
Chứng minh:
Từ câu a), ta có
\(\frac{1}{A D} = \frac{\frac{1}{A B} + \frac{1}{A C}}{2 cos \frac{A}{2}} .\)
Vì trong tam giác
\(0 < A < 180^{\circ} \Rightarrow 0 < \frac{A}{2} < 90^{\circ} ,\)
nên
\(cos \frac{A}{2} < 1 \Rightarrow 2 cos \frac{A}{2} < 2.\)
Do đó
\(\frac{1}{2 cos \frac{A}{2}} > \frac{1}{2} ,\)
suy ra
\(\frac{1}{A D} > \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} \left.\right) .\)
Tương tự,
\(\frac{1}{B E} > \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{B A} + \frac{1}{B C} \left.\right) ,\) \(\frac{1}{C F} > \frac{1}{2} \left(\right. \frac{1}{C A} + \frac{1}{C B} \left.\right) .\)
Cộng ba bất đẳng thức trên:
\(\frac{1}{A D} + \frac{1}{B E} + \frac{1}{C F} > \frac{1}{2} \textrm{ } \left[\right. \left(\right. \frac{1}{A B} + \frac{1}{A C} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{A B} + \frac{1}{B C} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{A C} + \frac{1}{B C} \left.\right) \left]\right. .\)
Rút gọn:
\(\frac{1}{A D} + \frac{1}{B E} + \frac{1}{C F} > \frac{1}{A B} + \frac{1}{B C} + \frac{1}{C A} .\)
Vậy
\(\boxed{\frac{1}{A B} + \frac{1}{B C} + \frac{1}{C A} < \frac{1}{A D} + \frac{1}{B E} + \frac{1}{C F} .}\)