a: Xét ΔABC có 

N là trung điểm của AB

M là trung điểm của AC

Do đó: NM là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: NM//BC và \(NM=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có 

P là trung điểm của GB

Q là trung điểm của GC

Do đó: PQ là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: PQ//BC và \(PQ=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường trung tuyến

BE cắt CF tại O

Do đó: O là trọng tâm của ΔABC

=>BO=2OE; CO=2OF

BO=2OE

OK=2OE

Do đó: BO=OK

=>O là trung điểm cua BK

CO=2OF

OI=2OF

Do đó: CO=OI

=>O là trung điểm của CI

Xét tứ giác AOCK có

E là trung điểm chung của AC và OK

=>AOCK là hình bình hành

=>AK//CO và AK=CO

AK//CO

=>AK//OI

Xét tứ giác AIBO có

F là trung điểm chung của AB và IO

=>AIBO là hình bình hành

=>AI//BO

=>AI//OK

Ta có: \(AF=FB=\frac{AB}{2}\)

\(AE=EC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AF=FB=AE=EC

Xét ΔAEB và ΔAFC có

AE=AF

\(\hat{EAB}\) chung

AB=AC

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

=>BE=CF

mà \(BO=\frac23BE;CO=\frac23CF\)

nên BO=CO

BO=OK

CO=OI

mà BO=CO

nên OK=OI

Xét tứ giác AIOK có

AI//OK

AK//OI

Do đó: AIOK là hình bình hành

Hình bình hành AIOK có OI=OK

nên AIOK là hình thoi

=>AO⊥IK tại trung điểm của mỗi đường

=>AO⊥IK tại G và G là trung điểm chung của AO và IK

Ta có: BK=2BO

CI=2CO

mà BO=CO

nên BK=CI

Xét tứ giác BCKI có

O là trung điểm chung của BK và CI

=>BCKI là hình bình hành

Hình bình hành BCKI có BK=CI

nên BCKI là hình chữ nhật

=>\(\hat{IBC}=\hat{KCB}=\hat{BIK}=\hat{IKC}=90^0\)

=>MI⊥IK tại I

AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

mà MI⊥BC

nên MI//AO

Xét tứ giác AMIO có

AM//IO

AO//MI

Do đó: AMIO là hình bình hành

=>MI=AO

mà AO=CK

nên MI=CK

Xét tứ giác MICK có

MI//CK

MI=CK

Do đó: MICK là hình bình hành

=>MC cắt IK tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của IK

nên G là trung điểm của MC

=>M,G,C thẳng hàng

a) AC = 10cm Þ S_ABC =37,5 (cm²)

b) Chứng minh được M A E ^ = A M E ^  (cùng = A B C ^ ) Þ AE = ME. Cmtt ta có AE = NE. Từ đó suy ra ME = NE.

c) Chứng minh EH//GF (//MB) và GE//FH (//NC) Þ EGFH là hình bình hành. Chứng minh được H E G ^ = B A C ^ = 90 0 ⇒ E G F H là hình chữ nhật. Suy ra GH đi qua trung điểm của EF.

S E G F H = H E . E G = 1 2 M B . 1 2 N C = 1 4 . 2 3 A B . 2 3 A C = 25 3 ( c m 2 )  

Mà S E G F H = 4. S ⇒ I H F S I H F = 25 12 c m 2

mik cam on

Trong △ OAB, ta có PQ là đường trung bình nên: PQ =1/2 AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (1)

Trong  △ OAC, ta có PR là đường trung bình nên:

PR = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra:  (2)

Trong  △ OBC, ta có QR là đường trung bình nên

QR = 1/2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: 

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Vậy  △ PQR đồng dạng  △ ABC (c.c.c)

a, xét tam giác ABD và tam giác ACD có : AD chung

AB = AC do tam giác ABC cân tại A (gt)

góc BAD = góc CAD do AD là phân giác của góc BAC (gt)

=> tam giác ABD = tam giác ACD (c-g-c)

b, tam giác ABD = tam giác ACD (câu a)

=> BD = DC (đn) mà D nằm giữa B; C 

=> D là trung điểm của BC (đn)

=> AD là trung tuyến

CF là trung tuyến

CF cắt AD tại G

=> G là trong tâm của tam giác ABC (đl)

c, Ta có : tam giác EDC có EH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

\(\Rightarrow\)tam giác EDC cân tại E

D, Vì EH // AD \(\Rightarrow\)theo định lí Ta - lét ta có : \(\frac{DH}{HC}=\frac{AE}{EC}\)

Mà HC = HD \(\Rightarrow\)AE = EC \(\Rightarrow\)E là trung điểm AC 

\(\Leftrightarrow\)BE là đường trung tuyến \(\Rightarrow\)Ba điểm B, G , E thẳng hàng 

Bài 1: 

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: DE là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: DE//BC và \(DE=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔGBC có 

I là trung điểm của GB

K là trung điểm của GC

Do đó: IK là đường trung bình của ΔGBC

Suy ra: IK//BC và \(IK=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra DE//IK và DE=IK