Câu hỏi của Bùi Vương Luân

Question

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyên AM. Vẽ HF vuông góc AB tại F, HT vuông góc AC tại T. Gọi D và E lần lượt là các điểm đối...

Phùng Việt Hưng · Accepted Answer

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$ và đường trung tuyến $AM$:

Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, ta có:
$\angle HAB+\angle B=90^{\circ }$
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$\angle C+\angle B=90^{\circ }$
Từ hai điều trên suy ra: $\angle HAB = \angle C$.

Mặt khác, vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$ nên:
$AM=\frac{1}{2}BC=MC$
Do đó, $\triangle AMC$ cân tại $M$, suy ra: $\angle MAC = \angle C$.Từ đó, ta có điều phải chứng minh:
$\angle HAB=\angle MAC$Câu trả lời: Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$ và đường trung tuyến $AM$:

Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, ta có:
$\angle HAB+\angle B=90^{\circ }$
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$\angle C+\angle B=90^{\circ }$
Từ hai điều trên suy ra: $\angle HAB = \angle C$.

Mặt khác, vì $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$ nên:
$AM=\frac{1}{2}BC=MC$
Do đó, $\triangle AMC$ cân tại $M$, suy ra: $\angle MAC = \angle C$.Từ đó, ta có điều phải chứng minh:
$\angle HAB=\angle MAC$

Phùng Việt Hưng · Answer

ngắn gọn hơn

Bước 1: Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, góc $\angle HAB$ phụ với góc $B$, nên $\angle HAB = 90^\circ - \angle B$.

Bước 2: Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, hai góc nhọn $B$ và $C$ phụ nhau, suy ra $\angle C = 90^\circ - \angle B$.Bước 3: Từ đó suy ra $\angle HAB = \angle C$ (cùng phụ với góc $B$).Bước 4: Xét đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$, ta có tính chất: $AM = \frac{1}{2}BC = MC$.Bước 5: Do $AM = MC$ nên $\triangle AMC$ là tam giác cân tại $M$, suy ra $\angle MAC = \angle C$.Kết luận: Vì $\angle HAB$ và $\angle MAC$ đều bằng $\angle C$, ta suy ra $\angle HAB = \angle MAC$

Câu trả lời:

ngắn gọn hơn

Bước 1: Trong $\triangle ABH$ vuông tại $H$, góc $\angle HAB$ phụ với góc $B$, nên $\angle HAB = 90^\circ - \angle B$.

Bước 2: Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$, hai góc nhọn $B$ và $C$ phụ nhau, suy ra $\angle C = 90^\circ - \angle B$.Bước 3: Từ đó suy ra $\angle HAB = \angle C$ (cùng phụ với góc $B$).Bước 4: Xét đường trung tuyến $AM$ ứng với cạnh huyền $BC$ của tam giác vuông $ABC$, ta có tính chất: $AM = \frac{1}{2}BC = MC$.Bước 5: Do $AM = MC$ nên $\triangle AMC$ là tam giác cân tại $M$, suy ra $\angle MAC = \angle C$.Kết luận: Vì $\angle HAB$ và $\angle MAC$ đều bằng $\angle C$, ta suy ra $\angle HAB = \angle MAC$

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

MA=MC

=>ΔMAC cân tại M

=>$\hat{MAC}=\hat{MCA}=\hat{ACB}$

mà $\hat{ACB}=\hat{HAB}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)$

nên $\hat{MAC}=\hat{HAB}$

b: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAFD vuông tại F có

AF chung

FH=FD

Do đó: ΔAFH=ΔAFD

=>$\hat{FAH}=\hat{FAD}\overline{}$

=>AF là phân giác của góc HAD

=>$\hat{HAD}=2\cdot\hat{HAB}$

ΔAFH=ΔAFD

=>AH=AD

Xét ΔATH vuông tại T và ΔATE vuông tại T có

AT chung

TH=TE

Do đó: ΔATH=ΔATE

=>$\hat{TAH}=\hat{TAE}$

=>AT là phân giác của góc HAE

=>$\hat{HAE}=2\cdot\hat{HAT}=2\cdot\hat{HAC}$

ΔATH=ΔATE

=>AH=AE
mà AH=AD
nên AD=AE

Ta có: $\hat{EAD}=\hat{EAH}+\hat{DAH}$

$=2\cdot\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0$

=>D,A,E thẳng hàng

mà AD=AE

nên A là trung điểm của DE
c:

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

$\hat{HAB}=\hat{DAB}$

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>$\hat{AHB}=\hat{ADB}$

=>$\hat{ADB}=90^0$

=>BD⊥ DE tại D

Xét ΔAHC và ΔAEC có

AH=AE

$\hat{HAC}=\hat{EAC}$

AC chung

Do đó: ΔAHC=ΔAEC
=>$\hat{AHC}=\hat{AEC}$

=>$\hat{AEC}=90^0$

=>CE⊥ ED tại E

mà BD⊥ DE

nên BD//CE

Xét hình thang BDEC có

A,M lần lượt là trung điểm của DE,BC

=>AM là đường trung bình của hình thang BDEC

=>AM//BD//EC

=>AM⊥DE

Xét ΔHDE có

T,F lần lượt là trung điểm của HE,HD

=>TF là đường trung bình của ΔHDE

=>TF//DE
mà AM⊥DE

nên AM⊥TF

d: Xét ΔHBD có

F,I lần lượt là trung điểm của HD,HB

=>FI là đường trung bình của ΔHBD

=>FI//BD và $FI=\frac{BD}{2}=\frac{BH}{2}$

Xét ΔHEC có

T,K lần lượt là trung điểm của HE,HC

=>TK là đường trung bình của ΔHEC

=>TK//EC và $TK=\frac{EC}{2}=\frac{CH}{2}$

TK//EC

EC//BD

Do đó: TK//BD

mà FI//BD

nên FI//TK

TK//BD

BD⊥ DE

Do đó: TK⊥DE
mà DE//TF

nên TK⊥TF

=>FI⊥TF

=>FIKT là hình thang vuông

Xét tứ giác AFHT có $\hat{AFH}=\hat{ATH}=\hat{FAT}=90^0$

nên AFHT là hình chữ nhật

=>AH=FT

ΔABC vuông tại A

=>$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\left(1\right)$

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên $S_{ABC}=\frac12\cdot AH\cdot BC\left(2\right)$

Từ (1),(2) suy ra $AH\cdot BC=AB\cdot AC=6\cdot8=48$

TFIK là hình thang vuông

=>$S_{FIKT}=\frac12\cdot\left(FI+KT\right)\cdot TF$

$=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12HB+\frac12HC\right)=\frac14\cdot AH\cdot BC=\frac14\cdot48=12\left(\operatorname{cm}^2\right)$